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Question 1
निम्नलिखित बिन्दु युग्मों के बीच की दूरी निकालें ।
[Find the distance between the following pair of points]
(i) (1,-3,4) , (-4,1,2)
(ii) (-1,3,-4) , (1,-3,4)
Sol :
(i)
PQ$=\sqrt{(-4-1)^{2}+(1-(-3))^{2}+(2-4)^{2}}$
$=\sqrt{(-5)^{2}+(4)^{2}+(2)^{2}}$
=√25+16+4
=√45=3=√5
(viii) y-अक्ष पर स्थित उस बिन्दु का निर्देशांक जो बिन्दु P(3,-2,5) से 5√2 दूरी पर हो।
[Find the co-ordinates of a point on y-axis which are at a distance of 5√2 from the point P(3,-2,5) .]
Sol :
PQ=5√2
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$P{Q}^{2}=(5 \sqrt{2})^{2}$
$(0-3)^{2}+(y+2)^{2}+(0-5)^{2}=50$
$9+y^{2}+4 y+4+25-50=0$
$y^{2}+4 y-12=0$
$y^{2}+6 y-2 y-12=0$
y(y+6)-2(y+6)=0
(y+6)(y-2)=0
y+6=0 ; y-2=0
y=6 ; y=2
∴y-अक्ष पर स्थित बिन्दु के निर्देशांक
(0,-6,0) ,(0,2,0)
Question 2
दिखलाएँ कि बिन्दु (0,7,-10),(1,6,-6) तथा (4,9,-6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
[ Show that the points (0,7,-10),(1,6,-6) and (4,9,-6) are the vertices of an isosceles triangle.]
Sol :
माना A(0,7,-10) ,B(1,6,-6) तथा C(4,9,-6) त्रिभुज के तीन शीर्ष बिन्दु है।
$A B=\sqrt{(1-0)^{2}+(6-7)^{2}+(-6+10)^{2}}$
$=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+4^{2}}$
=√1+1+16
=√18=3√2
$B C=\sqrt{(4-1)^{2}+(9-6)^{2}+(-6+6)^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}+0}$
=√18=3√2
∴ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है ।
Question 6
दिखलाएँ कि बिन्दु P(-3,-2,4), Q(-9,-8,10) तथा R(-5,-4,6) संरेख है तथा R, PQ को 1: 2 के अनुपात में बाँटता है।
[Show that the points P(-3,-2,4), Q(-9,-8,10) and R(-5,-4,6) are collinear and R divides ,PQ in the ratio 1: 2.]
Sol :
माना P(-3,-2,4) , Q(-9,-8,10) तथा R(-5,-4,6) तीन बिन्दु है।
$P Q=\sqrt{(-9+3)^{2}+(-8+2)^{2}+(10-4)^{2}}$
=√36+36+36
=√108=6√3
$Q R=\sqrt{(-5+9)^{2}+(-4+8)^{2}+(6-10)^{2}}$
=√16+16+16=√48
=4√3
$P R=\sqrt{(-5+3)^{2}+(-4+2)^{2}+(6-9)^{2}}$
=√4+4+4=√12
∴P, Q, R संरेख है।
$\frac{P R}{Q R}=\frac{2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}}$
=1 : 2
∴R, PQ को 1 : 2 मे बाँटता है।
Question 7
दिखलाएँ कि (-1,4,-3) बिन्दु (3,2,-5),(-3,8,-5) तथा (-3,2,1) से बने त्रिभुज का परिकेन्द्र है।
[Show that (-1,4,-3) is the circumcentre of the triangle formed by the points (3,2,-5),(-3,8,-5) and (-3,2,1) .]
Sol :
माना A(3,2,-5) , B(-3,8,-5) तथा C(-3,2,1) त्रिभुज के शीर्ष है।
O(-1,4,3) त्रिभुज मे स्थित एक बिन्दु है।
$O A=\sqrt{(-1-3)^{2}+(4-2)^{2}+(-3+5)^{2}}$
=√24=2√6
OB$=\sqrt{(-3+1)^{2}+(8-4)^{2}+(-5+3)^{2}}$
=2√6
OC=2√6
OA=OB=OC
∴(-1,4,-3) ΔABC का परिकेन्द्र है।
Question 8
(i) दिखलाएँ कि बिन्दु (3,2,2) ,(-1,1,3),(0,5,6),(2,1,2) एक गोला पर है। जिसका केन्द्र (1,3,4) है। इसकी त्रिज्या निकाले ।
[Show that the points (3,2,2),(-1,1,3),(0,5,6),(2,1,2) lie on a sphere whose centre is (1,3,4). Find its radius.
Sol :
OA=OB=OC=OD
(ii) (0,5,0), (4,3,0), (4,0,3) तथा (0,4,3) से गुजरते हुए गोला की त्रिज्या निकाले ।
[Find the radius of the sphere through points (0,5,0), (4,3,0), (4,0,3) and (0,4,3)]
Sol :
माना गोले का केन्द्र O(x,y,z) है।
माना A(0,5,0) , B(4,3,0) , C(4,0,3) तथा D(0,4,3) गोले पर स्थित बिन्दु है।
OA=OB=OC=OD
OB=OC
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$OB^2=OC^2$
$(x-4)^{2}+(y-3)^{2}+(z-0)^{2}=(x-4)^{2}+(y-0)^{2}+(z-3)^{2}$
$y^{2}-6 y+9+z^{2}=y^{2}+z^2-6z+9$
-6y=-6z
y=2
∵OC=OD
x=y
∴x=y=z
OA=OB
$O A^{2}=O B^{2}$
$(x-0)^{2}+(y-5)^{2}+(2-0)^{2}=(x-4)^{2}+(y-3)^{2}+(2-0)$
$x^{2}+y^{2}-10 y+25=x^{2}-8 x+16+y^2-6y+9$
-10x+25=-8x-6x+25
-10x=-14x
4x=0
x=0, y=0, z=0
त्रिज्या=OA$=\sqrt{(0-0)^{2}+(5-0)^{2}+(0-0)^{2}}$
$=\sqrt{5^{2}}$
=5 इकाई
Question 9
बिन्द (a, b, c) से xy-तल पर खींचे गये लम्ब के पाद की दूरी मूल बिनु से निकालें।
[Find the distance from origin of the foot of perpendicular of point (a, b, c) on xy-plane.]
Sol :
बिन्दु A(a,b,c) से xy-तल पर खिचे गए लंब का निर्देशांक (a,ba)
$OB=\sqrt{a^{2}+b^{2}+0^{2}}$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Question 10
दिखलाएँ कि समतलीय बिन्दु (-1,2,1),(1,-2,5),(4,-7,8) तथा (2,-3,4) एक समान्तर चतुर्भुंज के शीर्ष है।
[Show that the coplanar points (-1,2,1),(1,-2,5),(4,-7,8) and (2, 3,4) are the vertices of a parallelogram.]
Sol :
माना A(-1,2,1) ,B(1,-2,5), C(4,-7,8) तथा D(2,-3,4) चार समतलीय बिन्दु है।
$A B=\sqrt{(1+1)^{2}+(-2-2)^{2}+(5-1)^{2}}$
=√4+16+16=√36=6
BC$=\sqrt{(4-1)^{2}+(-7+2)^{2}+(8-5)^{2}}$
=√9+25+9=√43
CD$=\sqrt{(2-4)^{2}+(-3-2)^{2}+(4-1)^{2}}$
=√9+25+9=√43
AB=CD, BC=AD
$A C=\sqrt{(4+1)^{2}+(-7-2)^{2}+(8-1)^{2}}$
=√25+81+49
=√155
$B D=\sqrt{(2-1)^{2}+(-3+2)^{2}+(4-5)^{2}}$
=√1+1+1
=√3
AC≠BA
∴ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।
Question 14
y-अक्ष पर वह बिन्दु निकाले जो बिन्दुओ (5,5,2) तथा (3,1,2) से समान दूरी पर है।
[Find the point on y-axis which is equidistant from the points (5,5,2) and (3,1,2)]
Sol :
माना बिन्दु P(0,y,0) बिन्दु A(5,5,2) तथा B(3,1,2) से समान दूरी पर है।
PA=PB
$P A^{2}=P B^{2}$
$(0-5)^{2}+(y-5)^{2}+(0-2)^{2}=(0-3)^{2}+(y-1)^{2}+(0-2)^{2}$
$25+y^{2}-10 y+25=9+y^{2}-2 y+1$
50-10y=10-2y
-10y+2y=10-50
-8y=-40
y=5
∴P का निर्देशांक (0,5,0)
Question 15
उस बिन्दु के निर्देशांक निकालें जो चार बिन्दुओं (0,0,0),(2,0,0),(0,4,0) तथा (0,0,6) से बराबर दूरी पर है
[Find the co-ordinates of the point equidistant from the four points (0,0,0),(2,0,0),(0,4,0) and (0,0,6)]
Sol :
माना बिन्दु P(x,y,z) की दूरी A, B, C तथा D से समान दूरी पर है।
PA=PB=PC=PD
PA=PB
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$\mathrm{PA}^{2}=\mathrm{PB}^{2}$
$(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=(x-2)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}$
$x^{2}=x^{2}-4 x+4$
x=1
PA=PC
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$P A^{2}=P C^{2}$
$(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=(x-0)^{2}+(y-4)^{2}+(z-0)^2$
$y^{2}=y^{2}-8 y+14$
8y=16
y=2
PA=PB
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$P A^{2}=P{D} 2$
$(x-a)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-6)^{2}$
$z=z^{2}-12 z+36$
12z=36
z=3
∴बिन्दु P का निर्देशांक=(1,2,3)
Question 16
xy-तल मे स्थित बिन्दु निकाले जो उस बिन्दु A(1,-1,0) ,B(2,1,2) तथा C(3,2,-1) से समान दूरी पर है।
[Determine the point in xy-plane which is equidistant from the points A(1,-1,0), B(2,1,2) and C(3,2,-1)
Sol :
Question 17
दूरी सूत्र का प्रयोग कर ΔABC के कोण A का कोज्या (cos) निकालें जिसके शीर्ष A(1,-1,2), B(6,11,2) तथा C(1,2,6)
[Using distance formula, calculate the cosine of angle A of the triangle with vertices A(1,-1,2), B(6,11,2) and C(1,2,6)]
Sol :
$\cos A=\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right)+\left(y_{2}-y_1\right) \cdot\left(y_{3}-y_{1}\right)+\left(z_{2}-z_{1}\right)\left(z_{3}-z_{1}\right)}{\left.\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left.(y_{2}- y_{1})^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}\right.}\right. \sqrt{\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{3}-z_1\right)}}$
Cos A$=\frac{(5-1)(1-1)+(11+1)(2+1)+(2-2)(6-2)}{\sqrt{(6-1)^{2}+(11+1)^{2}+(2-2)^{2}} \sqrt{(1-1)^{2}+(2+1)^{2}+(6-2)^{2}}}$
Cos A$=\frac{5 \times 0+12 \times 3+0 \times 4}{\sqrt{25+144} \sqrt{0+9+16}}$
$\cos A=\frac{36}{13 \times 5}$
$\cos A=\frac{36}{65}$
Question 18
(i) उस बिन्दु का बिन्दु पथ निकालें जो इस तरह से गतिशील है कि इसकी दूरी बिन्दुओ (3,4,-5) तथा (-2,1,4) से समान है ।
[Find the locus of a point which moves so that its distances from the points (3,4,-5) and (-2,1,4) are equal.]
Sol :
माना बिन्दु P(x,y,z) जिसकी दूरी बिन्दु A(3,4,-5) तथा (-2,1,4) से समान है।
PA=PB
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$P A^{2}=PB^{2}$
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$P A^{2}=PB^{2}$
$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$
$x^{2}-6 x+9+y^{2}-8 y+16+z^{2}+10 z+25=x^{2}+4 x+4+y^{2}-2 y+1+z^{2}-8z+16$
-6x-8y+10z+34=4x-2y-8z+5
-6x-8y+10z+34-4x+2y+8z-5=0
-10x-6y+18z+29=0
10x+6y-18z-29=0
Question 19
P(-2,2,3) तथा Q(13,-3,13) दो बिन्दु है। बिन्दु R का बिन्दु पथ निकाले जो इस तरह से गतिशील है कि 3PR=2QR
[P (-2,2,3) and Q(13,-3,13) are two points. Find the locus of point R which moves such that 3PR=2QR.]
Sol :
Question 20
बिदुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिन्दुओ A(4,0,0) तथा B(-4,0,0) से दूरियों का योगफल 10 हैं
[Find the equation of the set of points P, the sum of whose distances from points A(4,0,0) and B(-4,0,0) is equal to 10]
Sol :
माना बिन्दु P का निर्देशांक (x,y,z) है।
PA+PB=10
$\sqrt{(x-4)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}}+\sqrt{(x+4)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}}=10$
$\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}+z^{2}}+\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}+2^{2}}=10$
$\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}+z^{2}}=10-\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}+z^{2}}$
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$x^{2}-8 x+16+y^{2}+z^{2}=100+x^{2}+8 x+16+y^{2}+z^{2}-2\times 10\sqrt{(x+4)^2+y^2+z^2}$
$20 \sqrt{x^{2}+8 x+16+y^{2}+z^{2}}$=100+16x
$20 \sqrt{x^{2}+8 x+16+y^{2}+z^{2}}=4(25+4x)$
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$25\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+8 x+16\right)=625+16 x^{2}+200x$
$25 x^{2}+25 y^{2}+25 z^{2}+200 x+400=625+16x^{2}+200x$
$25 x^{2}-16 x^{2}+25 y^{2}+25 z^{2}=225$
$9 x^{2}+25 y^{2}+25 z^{2}=225$