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Question 1
यदि A(3,1,-2) तथा B(1,-3,-1) दो बिन्दु हैं, तो उन बिन्दुओं के नियामक निकालें जो रेखा खण्ड AB को
(i) 1 : 3 के अनुपात मे अन्तर्विभाजित करता है।
(ii) 3 : 1 के अनुपात मे बहिर्विभाजित करता है।
Sol :
माना बिन्दु C(x,y,z) रेखा AB को 1 : 3 के अनुपात मे अंतः विभाजीत करता है।
C(x,y,z) $=\left(\frac{1 \times 1+3 \times 3}{1+3}, \frac{1 \times(-3)+3 \times 1)}{1+3}, \frac{1 \times(-1)+3 \times(-2)}{1+3}\right)$
$=\left(\frac{1+9}{4}, \frac{-3+3}{4}, \frac{-1-6}{4}\right)$
$=\left(\frac{10}{4}, \frac{0}{4},-\frac{7}{4}\right)=\left(\frac{5}{2}, 0,-\frac{7}{4}\right)$
Question 3
बिन्दु R के निर्देशांक जो P(0,0,0) तथा Q(4,-1,-2) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को 1 : 2 के अनुपात मे बहिर्विभाजित करता है। सत्यापित करे कि P, RQ का मध्य बिन्दु है।
[Find the co-ordinates of the point R which divides the join of P(0,0,0) and Q(4,-1,2) in the ratio 1 : 2 externally and verify that P is the mid-point of RQ.]
Sol :
माना बिन्दु R(x,y,z) ,PQ को 1 : 2 के अनुपात मे बहिर्विभाजित करता है।
R(x,y,z)$=\left(\frac{1 \times 4-2 \times 0}{1-2}, \frac{1 \times(-1)-2 \times 0}{1-2}, \frac{1 \times(-2)-2\times 0}{1-2}\right)$
$=\left(\frac{4-0}{-1}, \frac{-1-0}{-1},-\frac{2-0}{-1}\right)$
=(-4,1,2)
RQ का मध्य बिन्दु $=\left(-\frac{4+4}{2} , \frac{1-1}{2}, \frac{2-2}{2}\right)$
=(0,0,0)
=P का निर्देशांक
P, RQ का मध्य बिन्दु है।
Question 4
विभाजन सुत्र का प्रयोग कर दिखाएँ कि निम्नलिखित बिन्दु सरेख हैं :
[Using section formula, show that the following three points are collinear.]
(i) (-2, 3, 5) ,(1, 2, 3) ,(7, 0, -1)
Sol :
माना A(-2,3,5) ,B(1,2,3) , C(7,0,-1) तीन बिन्दु है।
माना बिन्दु C, AB को k : 1 मे विभाजीत करती है।
C का नियमंक$=\left(\frac{k \times 1+1 \times(-2)}{k+1}, \frac{k \times 2+1 \times 3}{k+1}, \frac{k \times 3+1\times 5}{k+1}\right)$
$=\left(\frac{k-2}{k+1}, \frac{2 k+3}{k+1}, \frac{3 k+5}{k+1}\right)$
$\frac{k-2}{k+1}=7$
k-2=7k+9
-6k=9
$k=\frac{9}{-6}$
$k=-\frac{3}{2}$
$\frac{2 k+3}{k+1}=0$
2k+3=0
2k=-3
$k=\frac{-3}{2}$
$\frac{3 k+5}{k+1}=-1$
3k+5=-k-1
4k=-6
$k=\frac{-6}{4}$
∴C, AB को 3 : 2 मे बाह्य विभाजीत करती है
∴A, B, C संरेख है।
Question 5
उन बिन्दुओ के नियामक निकालें जो P(4,2,-6) तथा Q(10,-16,6) को मिलानेवाली रेखाखण्ड PQ को समत्रिभाग करते हैं।
[Find the co-ordinates of the points which trisect the line segment PQ formed by joining the points P(4,2,-6) and Q(10,-16,6) .]
Sol :
Question 6
दिया गया हे कि P(3,2,-4), Q(5,4,-6) तथा R(9,8,-10) संरेख है । वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें Q, PR को विभाजित करता है।
[Given that P(3,2,-4), Q(5,4,-6) and R(9,8,-10) are collinear. Find the ratio in which Q divides PR.]
Sol :
माना Q, PR को k : 1 मे विभाजित है।
Question 7
निम्नलिखित बिन्दुओं के युग्म को मिलाने वाली रेखा खण्ड को yz-तल किस अनुपात में विभाजित करता है :
[Find the ratio in which the yz-plane divides the line segment joining the following pair of points]:
(i) (4,8,10) and (6,10,-8)
(ii) (-2,7,4)$ and (3,-5,8)
Sol :
माना बिन्दु R(x,y,z) yz-तल मे इस प्रकार स्थित है कि P(4,8,10) तथा Q(6,10,-8) को मिलाने वाली रेखा PQ को K : 1 मे बाटता है।
R(0,y,z)$=\left(\frac{k \times 6+1 \times 4}{k+1}, \frac{k \times 10+1 \times 8}{k+1}, \frac{k(-8)+1 \times 10}{k+1}\right)$
$=\left(\frac{6 k+4}{k+1}, \frac{10 k+8}{k+1}, \frac{-8 k+10}{k+1}\right)$
$\frac{6 k+4}{k+1}=0$
6k+4=0
6k=-4
$k=-\frac{4}{6}=\frac{-2}{3}$
∴बिन्दु R, PQ को 2 : 3 के बाह्य रूप मे विभाजित करता है।
Question 8
A(3,2,0), B(5,3,2), C(-9,6,-3) ΔABC के शीर्ष है तथा AD, ∠BAC का अन्तः:अर्धक है जो BC से D पर मिलती है । D के निर्देशांक निकालें
A(3,2,0), B(5,3, 2), C(-9,6,-3) are the vertices of ΔABC and AD is the internal bisector of ∠BAC which meets BC at D. Find the co-ordinates of D.]
Sol :
Angle bisector theorem
$\frac{BD}{C D}=\frac{A B}{A C}$
$\frac{m}{n}=\frac{\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}}{\sqrt{(-12)^{2}+4^{2}+(-3)^{2}}}$
$\frac{m}{n}=\frac{3}{13}$
=3 : 13
Question 9
दिखलाएँ कि एक तलीय बिन्दु (4,7,8),(2,3,4),(-1,-2,1) तथा (1,2,5) एक समान्तर चतुभुंज के शीर्ष हैं।
[Show that the coplanar points (4,7,8),(2,3,4),(-1,-2,1) and (1,2,5) are the vertices of a parallelogram.]
Sol :
Question 10
साबित करें कि एक तलीय बिन्दु (5,-1,1),(7,-4,7),(1,-6,10) तथा (-1,-3,4) एक समचतुर्भुज के शीषर्ष हैं। [Prove that the coplanar points (5,-1,1),(7,-4,7),(1,-6,10) and (-1,-3,4) are the vertices of a rhombus.]
Sol :
Question 11
दिखलाएँ कि एक तलीय बिन्दु A(1,2,3), B(-1,-2,-1), C(2,3,2) तथा D(4 ,7 ,6) एक समान्तर चतुर्भुंज के शीर्ष हैं जो आयत नहीं है।
[Show that the coplanar points A(1,2,3), B(-1,-2,-1), C(2,3,2) and D(4,7,6) are the vertices of a parallelogram ABCD, which is not a rectangle.]
Sol :
Question 12
(i) यदि किसी समान्तर चतुर्भुज के तीन क्रमागत शीर्ष (3,4,-1),(7,10,-3) तथा (8,1,0) हैं, तो चौथा शीर्ष निकालें
[If three consecutive vertices of a parallelogram be (3,4,-1),(7,10,-3) and (8,1,0), find the fourth vertex.]
Sol :
माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
माना D का निर्देशांक (x,y,z) समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दुसरे को समद्विभाजीत करते है।
मध्य बिन्दु सूत्र है।
$\left(\frac{x+7}{2}, \frac{y+10}{2}, \frac{z-3}{2}\right)=\left(\frac{3+8}{2} , \frac{4+1}{2} , \frac{-1+0}{2}\right)$
$\begin{array}{l|l|l}\frac{x+7}{2}=\frac{11}{2} & \frac{y+10}{2}=\frac{5}{2}& \frac{z-3}{2}=\frac{-1}{2}\\x=4 & y=-5 & z=2\end{array}$
∴D का निर्देशांक (4,-5,2)
Question 13
एक बिन्दु Rजिसका z-निर्देशांक 8 है बिन्दुओं P(2,-3,4) तथा Q(8,0,10) को मिलाने वाली रेखा खण्ड पर है। R के नियामक निकालें
[A point R with z-co-ordinate 8 lies on the line segment joining the points P(2,-3,4) and Q(8,0,10). Find the co-ordinates of R]
Sol :
माना R(x, y, 8) रेखा PQ को k : 1 मे बाँटती है।
R(x, y, 8) $=\left(\frac{k \times 8+1 \times 2}{k+1}, \frac{k \times 0+1 \times (-3)}{k+1}, \frac{4\times {10}+1 \times y}{k+1}\right)$
$=\left(\frac{8 k+2}{k+1}, \frac{-3}{k+1}, \frac{10k+4}{k+1}\right)$
$x=\frac{8 k+2}{k+1}$
$x=\frac{8(2)+2}{2+1}=\frac{18}{3}$
x=6
$y=\frac{-3}{k+1}$
$y=\frac{-3}{2+1}$
y=-1
$\frac{8}{1}=\frac{10k+4}{k+1}$
10k+4=8k+8
2k=4
k=2
∴R का निर्देशांक=(6,-1,8)
Question 14
(i) किसी त्रिभुज के दो शीर्ष (4,-6,3) तथा (2,-2,1) हैं तथा इसका केन्द्रक $\left(\frac{8}{3},-1,2\right)$ है । तीसरा शीर्ष निकाले।
Sol :
माना तीसरे शीर्ष का निर्देशांक C(x,y,z)
त्रिभुज का केन्द्रक$=\left(\frac{8}{3},-1,2\right)$
$\left(\frac{4+2+x}{3}, \frac{-6-2+y}{3}, \frac{3+1+z}{3}\right)=\left(\frac{8}{3},-1,2\right)$
$\left(\frac{6+x}{3}, \frac{-8+y}{3}, \frac{4+z}{3}\right)=\left(\frac{8}{3},-1,2\right)$
$\frac{6+x}{3}=\frac{8}{3}$
x=2
$\frac{-8+y}{3}=-1$
-8+y=-3
y=5
$\frac{4+z}{3}=2$
4+z=6
z=2
तीसरे शीर्ष का निर्देशांक=(2,5,2)
(ii) उस त्रिभुज के मध्यिका की लम्बाई निकालें जिसके शीर्ष A(0,0,6), B(0,4,0) तथा C(6,0,0) हैं।
[Find the lengths of the medians of the triangle having vertices A(0,0,6), B(0,4,0) and C(6,0,0) .]
Sol :
माना AD, BE तथा CF, ΔABC की मध्यिका है।
D, BC का म्ध्य बिन्दु है।
D का निर्देशांक $=\left(\frac{0+6}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right)$
=(3,2,0)
$A D=\sqrt{(3-0)^{2}+(2-0)^{2}+(0-6)^{2}}$
=√9+4+36
=√49
=7
Question 15
(i) यदि मूल बिन्दु ΔABC का केन्द्रक है जिसके शीर्ष A(⍺, 1,3), B(-2, β,-5) तथा C(4,7, Ɣ)$ हैं, तो ⍺, β,Ɣ के मान निकालें
[If origin is the centroid of ΔABC with vertices A(⍺, 1,3), B(-2, β,-5) and C(4,7, Ɣ), find the values of ⍺, β,Ɣ.]
Sol :
ΔABC का केन्द्रक=(0,0,0)
$\left(\frac{\alpha-2+4}{3}, \frac{1+\beta+7}{3}, \frac{3-5+\gamma}{3}\right)=(0,0,0)$
$\left(\frac{\alpha+2}{3}, \frac{\beta+8}{3}, \frac{-2+\gamma}{3}\right)=(0,0,0)$
$\frac{\alpha+2}{3}=0$
⍺+2=0
⍺=-2
$\frac{\beta+8}{3}=0$
β+8=0
β=-8
$\frac{-2+\gamma}{3}=0$
-2+ℽ=0
ℽ=2
Question 16
किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्द (1,2,-3),(3,0,1) तथा (-1,1,-4) हैं तो उसका केन्रक निकालें।
[Find the centroid of the triangle mid-points of whose sides are (1,2,-3), (3,0,1) and (-1,1,-4).]
Sol :
माना ΔABC मे, P, Q तथा R क्रमशः AB, BC तथा AC का मध्य बिन्दु है।
$\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}, \frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right)=(1,2,-3)$
$x_{1}+x_{2}=2$…(i) $y_{1}+y_{2}=4$…(ii) $z_{1}+z_{2}=-6$…(iii)
$\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}, \frac{z_{2}+z_{3}}{2}\right)=(3,0,1)$
$x_{2}+x_{3}=6$…(iv) $y_{2}+y_{3}=0$…(v) $z_{2}+z_{3}=2$…(vi)
$\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}, \frac{z_1+z_{3}}{2}\right)=(-1,1,-4)$
$x_{1}+x_{3}=-2$…(viii) $y_{1}+y_{3}=2$…(viii) $z_{1}+z_{3}=-8$…(ix)
$2 x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{2}-x_{3}=2+(-2)-6$
$2 x_{1}=-6$
$x_{1}=-3$ , $x_{2}=5$ , $x_{3}=1$