KC Sinha: Exercise 8.1- Mathematics Solution Class 12 Chapter 8 रैखिक समीकरणों के निकाय का हल

[mathjax]

Question 1
आव्यूह का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल करे.
[Using matrices solve the following system of equations:]
(i)
2 x+5 y=1
3 x+2 y=7
Sol :

The system of equation is non-homogeneous

Let $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 3 & 2\end{array}\right]$ ,$x=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{l}1 \\ 7\end{array}\right]$

|A|=4-15
=-11≠0

समीकरण निकाय के अद्विती हल है

$\therefore \quad x=A^{-1} B$

$a d j A=\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\ -5 & 2\end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{rr}2 & -5 \\ -3 & 2\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot(a d j A)=\frac{1}{-11}\left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\ -3 & 2\end{array}\right]$

x=A^-1B

$a d j A=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -5 & 2\end{array}\right]^{\prime}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} \cdot(a d j A)$

$=\frac{1}{-11}\left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\ -3 & 2\end{array}\right]$

x=A^-1B

$\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\frac{1}{-11}\left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\ -3 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\ 7\end{array}\right]$

$=\frac{-1}{11}\left[\begin{array}{cc}2 & -35 \\ -3 & +14\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=-\frac{1}{11}\left[\begin{array}{c}-33 \\ 11\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3 \\ -1\end{array}\right]$

x=3 , y=-1

(ii) 
5x+2y=3
3x+2y=5
Sol :
<to be added>

Let $A=\left[\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 3 & 2\end{array}\right]$ , $x=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right]$

|A|=10-6=4

समीकरण निकाय के अद्विती हल होगा

$a d j A=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -2 & 5\end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -3 & 5\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot(a d j A)=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -3 & 5\end{array}\right]$

$\therefore x=A^{-1}B$

|A|=10-6=4

$a d j A=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -2 & 5\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -3 & 5\end{array}\right]$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A |} \cdot(a d j A)$

$=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -3 & 5\end{array}\right]$

∴x=A^-1B

$\left[\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right]=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -3 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}6-10 \\ -9+25\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{l}-4 \\ 160\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 4\end{array}\right]$
x=-1 , y=4

(iii) 5x+2y=4

7x+3y=5

Sol :

(iv) 4x-3y=3

3x-5y=7

Sol :

(v) 2x-y=-2

3x+4y=3

Sol :

Question 2
Solve the following system of equations by matrix method:
(i)

x-y+z=4
x-2 y-2 z=9
2 x+y+3 z=1
Sol :
The system of equation is non-homogeneous

Let $A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]$ ,$x=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ ,$B=\left[\begin{array}{l}4 \\ 9 \\ 1\end{array}\right]$

$|A|=1\left.\left|\begin{array}{cc}-2 & -2 \\ 1 & 3\end{array}\bigg|+1\bigg| \begin{array}{cc}1 & -2 \\ 2 & 3\end{array}\bigg|+1\bigg| \begin{array}{c}1&-2 \\ 2&1\end{array} \bigg|\right.\right.$

=1(-6+2)+1(3+4)+1(1+4)
=-4+7+5
=8≠0

समीकरण निकाय के अद्विती हल होगा

$a d j A=\left[\begin{array}{rrr}-4 & -7 & 5 \\ 4 & 1 & -3 \\ 4 & 3 & -1\end{array}\right]^,=\left[\begin{array}{ccc}-4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot a d j A$

$=\frac{1}{8}\left[\begin{array}{ccc}-4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1\end{array}\right]$

∴X=A^-1B

$\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\frac{1}{8}\left[\begin{array}{ccc}-4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}4 \\ 9 \\ 1\end{array}\right]$

$=\frac{1}{8}\left[\begin{array}{c}-16+36+4 \\ -28+9+3 \\ 20-27-1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\frac{1}{8}\left[\begin{array}{c}24 \\ -16 \\ -8\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3 \\ -2 \\ -1\end{array}\right]$

∴x=3 , y=-2 , z=-1

(ii)

x+2 y-3 z=-4
2 x+3 y+2 z=2
3 x-3 y-4 z=11
Sol :

(iii) 

2x-y-z=1

x+y+2y=1

3x-2y-2z=1

Sol :

(iv) 

x+y+z=3

2x-y-z=2

x-2y+3z=2

(v)

2x-3y+5z=11

3x+2y-4z=-5

x-y-2z=-3

Sol :

(vi)

x-y+z=1

x-2y+3z=2

x-3y+5z=3

(vii)

2x-3y+z=-1

x-2y+3z=6

-3y+2z=0

2x+y-z=1

x-y+z=2

3x+y-2z=-1

Sol :

2 x-3 y=1
x+3 z=11
x+2 y+z=7
Sol :
The system of equation is non-homogeneous

$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$,$x=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{l}1 \\ 11 \\ 7\end{array}\right]$

$|A|=2\left|\begin{array}{cc}0 & 3 \\ 2 & 1\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 1 & 1\end{array}\right|$

=2(0-6)+3(1-3)
=2(-6)+3(-2)
=-12-6
=-18≠0

समीकरण निकाय के अद्विती हल होगा

$\operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{crr}-6 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -7 \\ -9 & -6 & 3\end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{rrr}-6 & 3 & -9 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & -7 & 3\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot a d j A$

$=\frac{1}{-18}\left[\begin{array}{ccc}-6 & 3 & -9 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & -7 & 3\end{array}\right]$

∴X=A^-1B

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\frac{1}{-18}\left[\begin{array}{ccc}-6 & 3 & -9 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & -7 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1 \\ 11 \\ 7\end{array}\right]$

$=\frac{-1}{18}\left[\begin{array}{ccc}-6 +33 -63 \\ 2 +22 -42 \\ 2 -77 +21\end{array}\right]$

$=-\frac{1}{10}\left[\begin{array}{l}-36 \\ -18 \\ -54\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right]$

∴x=2,y=1,z=3

(x)

2x+6y=2

3x-z=-8

2x-y+z=-3

Sol :

Question 3
Using matrices solve the following system of equations:

3 x-y+z=5
2 x-2 y+3 z=7
x+y-z=-1
Sol :

(ii)

2 x-y+z=0
x+y-z=6
3 x-y-4 z=7
Sol :

x+y+z=6

2x-y+4z=-12

Sol :

x+y+z=4
2 x-y+z=-1
2 x+y-3 z=-9
Sol :

x-y-z=-1

3x+y-2z=3

Sol :

(vi) 

x+2 y+z=7
x+3 z=11
2 x-3 y=1

3x+y-2z=3

x-y-z=1

x+y+z=6
2 x-y+z=3
x-2 y+3 z=6

Sol :

(ix)
x+y-z=1

3x+y-2z=3

x-y-z=-1

Sol :

Question 4
 यदि (if)$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right], A^{-1}$ निकाले (find A^-1) इसका उपयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल करे ।
[Use it to solve the following systems of equations]
(i) 2 x-3 y+5 z=16
3 x+2 y-4 z=-4
x+y-2 z=-3
Sol :
$|A|=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right|$

$=2\left|\begin{array}{cc}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right|+5\left|\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right|$

=2(-4+4)+3(-6+4)+5(3-2)
=2(0)+3(-2)+5(1)
=0-6+5
=-1≠0

$A^{-1}$ का अस्तित्व है

$a d{j} A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1 \\ 1 & -9 & -5 \\ 2 & 23 & 13\end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot a d{j} A=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13\end{array}\right]$

(i)
2 x-3 y+5 z=16
3 x+2 y-4 z=-4
x+y-2 z=-3

Sol :
The system of equation is non-homogeneous

Let $A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]$ , $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$  , $B=\left[\begin{array}{c}16 \\ -4 \\ -3\end{array}\right]$

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13\end{array}\right]$

|A|≠0

समीकरण निकाय के अद्विती हल होगा

X=A^-1B

$\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}16 \\ -4 \\ -3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & -4 & +6 \\ -32 & -36 & +69 \\ -16 & -20 & +39\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right]$

x=2 , y=1 , z=3

गुणन (Use product) $\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$ का प्रयाग समीकरण निकाय (to solve the system of equations) को हल करने के लिए करे
x-y+2z , 2y-3z=1 , 3x-2y+4z=2
Sol :
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-2-9+12 & 0-2+2 & 1+3-4 \\ -0+18-18 & 0+4-3 & 0-6+6 \\ -6-18+24 & 0-4+4 & 3+6-8\end{array}\right]$

the system of equation is non-homogeneous

∴$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$

|A|≠0

समीकरण निकाय के अद्विती हल है ।

X=A^-1B

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2+0+2 \\ 9 +2-6 \\ 6 +1-4\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 5 \\ 3\end{array}\right]$

∴x=0,y=5,z=3

Question 6

तीन संख्याओं का योग 6 हैं। यदि हम तीसरी संख्या को 3 से गुणा करके दूसरी संख्या में जोड़ दें तो हमें 11 प्राप्त होता है । पहली और तीसरी को जोड़ने सं हमें दूसरी संख्या का दुगुना प्राप्त होता है। इसका बीजगणितीय निस्नपण कीजिए और आव्यूह विधि से दूसरी संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

(ii) तीन संख्याओं का योग -1 है। यदि हम दूसरी संख्या को 2 से गुणा कर और तीसरी संख्या को 3 से गुणा कर जोड़ते हैं तो 5 प्राप्त होता है । यदि हम तीसरी संख्या को पहली और दूसरी के योगफल से घटाते हैं तो हमें -1 प्राप्त होता है। इसे समीकरण निकाय के रूप में निरूपित करें । आव्यूह के प्रतिलोम का प्रयोग कर संख्याओं को निकालें।

[The sum of three numbers is -1. If we multiply second number by 2 . third number by 3 and add them we get 5 . If we subtract the third number from the sum of first and second numbers, we get -1. Represent it by a system of equations. Find the numbers using inverse of a matrix.I

(iii) 4 kg प्याज, 3 kg गाहूँ और 2 kg चावल का मूल्य 60 रु० है । 2 kg प्याज, 4 kg गेहुँ और 6 kg चावल का मूल्य 90 रु० है। 6 kg प्याज, 2 kg गेहूँ और 3 kg चावल का मूल्य 70 रु० है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg ज्ञात कीजिए।

Question 7

निम्नलिखित समीकरण निकायों को आव्यूहों का प्रयोग कर हल करें। 

[Solve the following system of equations using matrices]

(i)

x-y-z=4

2c+y-3z=0

x+y-z=2

(ii)

x-y+2z=7

3x+4y-5z=-5

2x-y+3z=12

(iii)

3x-2y+3z=8

2x+y-z=1

4x-3y+2z=4

(iv)

2x+y+z=1

$x-2y-z=\frac{3}{2}$

3y-5z=9

(v)

2x+3y+3z=5

x-2y+z=-4

3x-y-2z=3

Sol :

(vi)

3x+y+z=3

2x-y-z=2

-x-y+z=1

Sol :

(vii)

2x+y+2z=3

x+y+2z=2

2x+3y-z=-2

Sol :

निम्नलिखित समीकरण निकाय की संगतता की जाँच करें

[Examine the consistency of the following system of equations:]
(i)
x+3 y=5
2x+6y=8
Sol :
<to be added>

Let $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 6\end{array}\right]$ , $x=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{l}5 \\ 8\end{array}\right]$

|A|=6-6=0

$a d j A=\left[\begin{array}{cc}6 & -2 \\ -3 & 1\end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}6 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]$

$(a dj A) B=\left[\begin{array}{cc}6 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}5 \\ 8\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}30 -24 \\ -10+8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6 \\ -2\end{array}\right]$
≠0

<to be added>

(ii)
x+2y=2
2x+3y=3
Sol :
<to be added>
माना
$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right]$,$x=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]$

|A|=3-4=-1≠0

∴संतता, अद्वितीय हल

(iii)
2x-y=5
x+y=4

(iv)
x+y=2
5 x+5y=10
Sol :
<to be added>

माना
$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 5 & 5\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{l}2 \\ 10\end{array}\right]$ , $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]$

|A|=5-5=0

$a d{j} A=\left[\begin{array}{cc}5 & -5 \\ -1 & 1\end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ -5 & 1\end{array}\right]$

$(a dj A) B=\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ -5 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}2 \\ 10\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{r}10-10 \\ -10+10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right]=0$

<to be added>

(v)
5x-y+4z=5
2x+3y+5z=2
5x-2y+6z=-1

(vi)
x+y+z=1
2x+3y+2z=2
ax+ay+2az=4
Sol :
<to be added>

माना
$|A|=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2 a\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & -a & 2 a\end{array}\right|$

$=1\left|\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & -a\end{array}\right|$

=a≠0

$C_{1} \rightarrow C_{1}-C_{2}$ ,$C_{2}\rightarrow C_{2}-C_{3}$

∴संतता, अद्वितीय हल

Question 9

निम्नलिखित समीकरण निकाय की संगतता की जाँच करें तथा यदि ये संगत हैं तो हल करें।

[Examine the consistency of the following system of equations and consistent solve them.

(i)

2x-y+3z=5

3x+2y-z=7

4x+5y-5z=9

(ii)

3x-y-2z=2

2y-z=-1

3x-5y=3

Sol :