Question 2
यदि (if) $A=\left[\begin{array}{r}3 \\ 1 \\ -2\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{lll}1 & -5 & 7\end{array}\right]$ तो सत्यापित करें (verify that) (AB)’=B’A’
Sol :
$A B=\left[\begin{array}{c}3 \\ -1 \\ -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & -5 & 7\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{ccc}3 & -15 & 21 \\ 1 & -5 & 7 \\ -2 & 10 & -14\end{array}\right]$
$\Rightarrow(A B)’=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\ -15 & -5 & 10 \\ 21 & 7 & -14\end{array}\right]$
$B^{\prime} A^{\prime}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -5 \\ 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & -2\end{array}\right]$
(AB)’=B’A’
Question 3
(i) यदि (If) $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{c}-2 \\ 4 \\ 5\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5\end{array}\right]$ तो सत्यापित करें कि (verify that) (AB)’=B’A’
(ii) यदि (If) $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right]$ तथा (and) $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{lll}-2 & -1 & -4\end{array}\right]$, तो सत्यापित करें कि (verify that) (AB)’=B’A’
(iii) यदि (If) $A=\left[\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 2\end{array}\right]$ तथा (and) $B=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 4]\end{array}\right]$ तो सत्यापित करें कि (verify that) (AB)’=B’A’
(i) यदि (If) $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0\end{array}\right]$ तथा (and) $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 5 & 0\end{array}\right]$, तो सत्यापित करें कि (verify that) (AB)’=B’A’
(ii) यदि [If] $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 0 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right]$ तथा (and) $B=\left[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -7\end{array}\right]$, तो सत्यापित करें कि (verify that) (AB)’=B’A’
(iii) यदि (If) $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{lr}1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 5 & 0\end{array}\right]$, तो सत्यापित करें कि (verify that) (AB)’=B’A’
(iv) यदि (If) $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rr}3 & -4 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ तथा (and) $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4\end{array}\right]$, तो सत्यापित करें कि (verify that) (AB)’=B’A’
Question 5
यदि (if) $A=\left[\begin{array}{rr}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right] $ ,$ B=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right]$ ,$ C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\ -1 & 4\end{array}\right]$ तो निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए , (verify the following)
(i) (A+B)’=A’+B’
(ii) (3B)’=3B’
(iii) (A’)’=A
(iv) (AV)’=C’A’
(v) (AB)’=B’A’
Sol :
L.H.S
(i)
L.H.S
(A+B)’=$\left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 10 & 11\end{array}\right]^{\prime}$
$=\left[\begin{array}{ll}7 & 10 \\ 0 & 11\end{array}\right]$
R.H.S
$A^{\prime}+B^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\ -1 & 7\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 4\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{ll}7 & 10 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
(A+B)’=A’+B’
Question 6
(i) यदि (if) $A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$ , तो दिखाएँ कि (show that)
A’A=I2
Sol :
L.H.S
$A^{\prime} A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{ll}\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha & \cos \alpha \sin \alpha-\sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \cos \alpha & \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha \end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=I_{2}$
(ii) यदि (If) $A=\left[\begin{array}{rr}\sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha\end{array}\right]$, तो सत्यापित करें कि (verify that) A’A=I
Sol :
Question 7
x और y ज्ञात करे यदि आव्यूह [find x and y if the matrix]
$A=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{llr}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ x & 2 & y\end{array}\right]$ शर्त (satisfy the condition) AA’=A’A=I3 को संतुष्ट करता है ।
Sol :
AA’=I3
$\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ x & 2 & y\end{array}\right] \cdot \frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}1+4+4 & 2+2-4 & x+4+2 y \\ 2+2-4 & 4+1+4 & 2 x+2-2 y \\ x+4+2 y & 2 x+2-2 y & x^{2}+4+y^{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}9 & 0 & x+2 y+4 \\ 0 & 9 & 2 x-2 y+2 \\ x+2 y+4 & 2 x-2 y+2 & x^{2}+y^{2}+4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{array}\right]$
x+2y+4=0 , 2x-2y+2=0
x+2y=-4..(i) , 2x-2y=-2..(ii)
समीo (i) तथा (ii) ,
$\begin{aligned} x+2 y &=-4 \\ 2 x-2 y &=-2 \\ \hline 3 x &=-6 \end{aligned}$
x का मान समीo (i) मे x=-2
⇒x+2y=-4
⇒-2+2y=-4
⇒2y=-2
⇒y=-1
∴x=-2 , y=-1
Question 8
यदि (if) $A=\left[\begin{array}{rrr}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ , (find) $\frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)$ तथा (and) $\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)$ ज्ञात करे ।
Sol :
$A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -1 \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right]$
$\frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]=0$
$\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rrr}0 & 2 a & 2 b \\ -2 a & 0 & 2 c \\ -2 b & -2 c & 0\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$
Question 9
(i) यदि (if) $A=\left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ , तो दिखाएँ कि (show that)
(A-AT) एक विषम सममित आव्यूह , जहाँ AT आव्यूह A का परिवर्त है । (is skew-symmetric matrix , where AT) is the transpose of matrix A .
Sol :
$A=\left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] $ , $ A^{\top}=\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -4 & -1\end{array}\right]$
$A-A^{T}=\left[\begin{array}{cc}0 & -5 \\ 5 & 0\end{array}\right]$
$\left(A-A^{T}\right)^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}0 & 5 \\ -5 & 0\end{array}\right]$
$=-\left[\begin{array}{cc}0 & -5 \\ 5 & 0\end{array}\right]$
=-(A-AT)
∴(A-AT) is skew-symmetric matrix
(ii) यदि (If) $A=\left[\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right]$, तो दिखाएँ कि (show that) $A-A^{T}$ एक विषम सममित आव्यूह है, जहाँ (is a skew-symmetric matrix , where ) $A^T$ , आव्यूह A का परिवर्त है (denotes the transpose of matrix A)
Sol :
(iii) यदि (if) $A=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 5 & 8\end{array}\right]$ , तो दिखाएँ कि (show that) A+AT एक सममित आव्यूह है , जहाँ AT ,A के परिवर्त को सूचित करता है (is a symmetric matrix where AT denotes the transpose of matrix A)
Sol :
$A=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 5 & 8\end{array}\right]$ , $A^{T}=\left[\begin{array}{cc}4 & 5 \\ 1 & 8\end{array}\right]$
$A+A^{\top}=\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ 6 & 16\end{array}\right]$
$\left(A+A^{T}\right)^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ 6 & 16\end{array}\right]$
$\left(A+A^{T}\right)^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ 6 & 16\end{array}\right]$
=A+AT
∴(A+AT) is skew-symmetric matrix
(iv) यदि (If) $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right]$, तो साबित करें कि (prove that) $A-A^{T}$ एक विषम सममित आव्यूह हैं जहाँ, $\mathrm{A}^{\mathrm{T}}, \mathrm{A}$ के परिवर्त को सूचित करता है। [is a skew symmetric matrix, where $\mathrm{A}^{\mathrm{T}}$ denotes the transpose of A.]
Sol :
Question 10
निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रुप मे लिखों ।
[Express the following matrices as the sum of a symmetric and a skew-symmetric matrix]
(i) $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 6 & 8 & 1 \\ 3 & 5 & 7\end{array}\right]$
Sol :
माना $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 6 & 8 & 1 \\ 3 & 5 & 7\end{array}\right]$
$A^{\prime}=\left[\begin{array}{lll}1 & 6 & 3 \\ 2 & 8 & 5 \\ 4 & 1 & 7\end{array}\right]$
$A+A^{\prime}=\left[\begin{array}{lll}2 & 8 & 7 \\ 8 & 16 & 6 \\ 7 & 6 & 14\end{array}\right]$ , $A-A^{\prime}=\left[\begin{array}{crr}0 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -4 \\ -1 & 4 & 0\end{array}\right]$
सममित तथा विषम सममित आव्यूह के योग के रूप:
$A=\frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)$
$=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}2 & 8 & 7 \\ 8 & 16 & 6 \\ 7 & 6 & 14\end{array}\right]+\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -4 \\ -1 & 4 & 0\end{array}\right]$
$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & \frac{7}{2} \\ 4 & 8 & 3 \\ \frac{7}{2} & 3 & 7\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & \frac{1}{2} \\ 2 & 0 & -2 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 0\end{array}\right]$
Question 11
(i) दिखाएँ कि निम्नलिखित आव्यूह विषम सममित आव्यूह है ।
[Show that the following matrices are skew-symmetric]
(a) $\left[\begin{array}{rrr}0 & e & f \\ -e & o & g \\ -f & -g & o\end{array}\right]$
Sol :
$A=\left[\begin{array}{ccc}0 & e & f \\ -e & 0 & g \\ -t & -g & 0\end{array}\right]$
$A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -e & -f \\ e & 0 & -g \\ t & g & 0\end{array}\right]$
$=-\left[\begin{array}{ccc}0 & e & b \\ -e & 0 & g \\ -b & -y & 0\end{array}\right]$
A’=-A
∴ A एक विषम सममित आव्यूह है
(b) $\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]$
Sol :
Question 12
x ,y,z का मान निकाले यदि आव्यूह (find the value of x,y,z if the matrix) $A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z\end{array}\right]$ समीकरण A’A=I को संतुष्ट करता है (satisfy the equation A’A=I)
Sol :
A’A=I
$\left[\begin{array}{ccc}0 & x & x \\ 2 y & y & -y \\ z & -z & z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}0+x^{2}+x^{2} & 0+x y-x y & 0-x z+x z \\ 0+x y-x y & 4 y^{2}+y^{2}+y^{2} & 2 y z-y z-y z \\ 0-x z+x z & 2 y z-y z-y z & z^{2}+z^{2}+z^{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}2 x^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 6 y^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 z^{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
2x2=1 , 6y2=1 , 3z2=1
$x^{2}=\frac{1}{2} \quad \cdot \quad y^{2}=\frac{1}{6} \quad, \quad z^{2}=\frac{1}{3}$
$x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$,$ y=\pm \sqrt{\frac{1}{6}}$,$ z=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$
Question 13
यदि B एक वर्ग आव्यूह है तथा A कोई आव्यूह है जिसका कोटि B के समान है , तो दिखाएँ कि B’AB समति या विषम सममित या विषम सममित है जब A क्रमश: सममित या विषम सममित है ।
[If B is a square matrix and A is any square matrix of order equal to that of B , prove that B’AB is symmetric or skew-symmetric according as A is symmetric or skew-symmetric]
Sol :
माना A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह है ।
Case-I यदि A एक सममित आव्यूह है
A’=A
(B’AB)’=B’A'(B’)’ =B’AB
∴B’AB एक सममित आव्यूह है
CASE-II
यदि A एक विषम सममित आव्यूह है
A’=-A
(B’AB)’=B’A'(B’)’
=B'(-A)B =-B’AB
∴B’AB एक विषम सममित आव्यूह है
Question 14
यदि A औक B समान कोटिवाले दो सममित आव्यूह हैं , तो दिखाएँ कि AB+BA सममित होगा ।
[If A and B are symmetric matrices of the same order , show that AB+BA is symmetric]
Sol :
माना A और B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं
A’=A , B’=B
(AB+BA)’=(AB)’+(BA)’
[∵(A+B)’=A’+B’]
=B’A’+A’B’
[∵ (AB)’=B’A’]
=BA+AB
=AB+BA
∴ AB+BA एक सममित आव्यूह हैं