KC Sinha: Exercise 3.1 - Mathematics Solution Class 11 Chapter 3 फलन

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Question 1

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित संबंधो मे कौन फलन है? यदि वे फलन है तो उनके प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।

(i) f={(1,4),(2,3),(3,4),(4,3)}

(ii) g={(2,5),(-1,0),(1,6)}

(iii) h={(1,2),(2,2),(3,2)}

(iv) ф={(1,2),(1,3),(2,5)}

(v) ψ={(2,1),(3,1),(5,2)}

(vi) u={(2,1),(5,1),(8,1),(11,1),(14,1),(17,1)}

(vii) v={(0,0),(1,1),(1,-1),(4,2),(4,-2),(9,3),(9,-3),(16,4),(16,-4)}

Sol :

(i) f एक फलमन है, प्रांत={1,2,3,4}

परिसर={3,4}

(ii) g एक फलन है, प्रांत={2,-1,1}

परिसर={5,0,6}

(iii) h एक फलन है, प्रांत={1,2,3}

परिसर={2}

(iv) ф एक फलन नही है।

अवयव का दो प्रतिबिंब 2 तथा 3 है।

Question 2

मान लीजिए कि (Let) A={1,2,3} और (and) B={4,5}

मान लीजिए कि (Let) f={(2,4),(3,5)} क्या A से B मे f एक फलन है?

[If f is a function from A into B?]

Sol :

f={(2,4),(3,5)}

f, A से B मे एक फलन नही है।

क्योकि 1 का कोई प्रतिबिंब B मे मौजुद नही है

Question 3

मान लीजिए कि A={1,2,3},B={3,6,9,10} निम्नलिखित संबंधो मे A से B मे कौन फलन है ?उनके परिसर भी ज्ञात कीजिए यदि वे फलन है ।
f={(1,9),(2,3),(3,10)}
Sol :
f फलन है परिसर={3,9,10}

g={(1,6),(2,10),(3,9),(1,3)}
Sol :
g एक फलन नही है ।

h={(2,6),(3,9)}
Sol :
h एक फलन नही है ।

u={(x,y):y=3x;x∈A}
Sol :
u={(1,3),(2,6),(3,9)}
u एक फलन है ।
परिलर={3,6,9}

Question 7

मान लीजिए कि $f=\left\{\left(\frac{m}{n}, m\right) ; m \in Z, n \in Z, n \neq 0\right\}$ से परिभाषित Q×Z एक उपसमुच्चय है । क्या Q से Z मे f एक फलन है । अपने उत्तर का औचित्य दीजिए ।
Sol :
f एक फलन नहीं है

$f\left(\frac{2}{1}\right)=2 \quad, \quad f\left(\frac{4}{2}\right)=4$

$f=\left\{\left(\frac{2}{1}, 2\right),\left(\frac{4}{2}, 4\right),\dots3\right.$

f={(2,2),(2,4)..}

Question 8

मान लीजिए कि N प्राकृत संख्याओ का समुच्चय है और N पर परिभाषित संबंध R इस प्रकार है कि
R={(x,y):y=2x,x,y∈N},R के प्रांत , सहप्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए क्या यह संबंध फलन है ?
Sol :
R={(x,y):y=2x,x,y∈N}

R={(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)....}

R का प्रांत={1,2,3,4..}=N

R का परिसर={2,4,6,8..}=एक संख्याओ का समुच्चय

R का सहप्रांत={1,2,3,4,...}

संबंध R एक फलन है।

Question 9

(i) f(x)=2x-5 से एक फलन f परिभाषित है , ज्ञात कीजिए f(0),f(7) और f(-3)
[A function f is defined by f(x)=2x-5, find f(0),f(7) and f(-3)]
Sol :

(ii) यदि (If) f(x)=x²+4,x∈R , तो ज्ञात कीजिए (then find) f(2),f(-5) और (and)f(t+2),t∈R
Sol :

(iii) यदि(If) f(x)=x²+1,x∈R, तो ज्ञात कीजिए (find) f(1)×f(4)
Sol :

(i) f(x)=2x-5

x=0 पर, f(0)=2(0)-5=-5

x=7 पर , f(7)=2(7)-5

=14-5=9

x=3 पर, f(3)=2(-3)-5

=-6-5=-11

(ii)

f(x)=x²+4

f(t+2)=(t+2)²+4

=t²+2.t.2+2²+4

=t²+4t+8

f(1)=1²+1=2

f(4)=4²+1=17

f(1)×f(4)=2×17=34

(i)

f(x)=x²+2x+1

f(-1)=(-1)²+2(-1)+1

=1-2+1=0

f(1)=1²+2(1)+1

=1+2+1=4

f(-1)×f(1)=04=0

f(-1)+f(1)=0+4=4

f(0)=0²+2(0)+1=1

f(-1)+f(0)≠f(0)

Question 11

(i) मान लीजिए कि f={(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,3)} कुछ पूर्णाको a और b के लिए Z से Z मे एक फलन f(x)=ax+b से परिभाषित है । a और b कीजिए
Sol :
माना y=f(x)

y=ax+b

(0,-1)∈f

∴-1=a(0)+b

-1=b

(1,1)∈f

1=a(1)+b

1=a+b

1=a-1

2=a

(ii) मान लीजिए कि (Let) f={(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,-3)} Z से Z मे एक रेखिक फलन है तो f(x) ज्ञात कीजिए [be a linear function from Z to Z , find f(x)]
Sol :
माना वह रेखिक फलनy=f(x)=ax+b है ।

y=ax+b

(0,-1)∈f

-1=a(0)+b

-1=b

(1,1)∈f

1=a(1)+b

1=a+b

1=a-1

2=a

∴ अभिष्ट फलन

f(x)=2x-1

Question 14

मान लीजिए कि A={9,10,11,12,13} तथा f:A→N,f(n)=n का महत्तव अभाज्य गुणनखंड द्वारा परिभाषित है । f का परिसर ज्ञात कीजिए
Sol :
f={(9,3),(10,5),(11,11),(12,3),(13,13)}

f का परिसर={3,5,11,13}

Question 15

यदि A={-3,-2,-1,0,1,2,3} और f(x)=x²-1,f:A→R को परिभाषित करता है , तो f का परिसर ज्ञात कीजिए
Sol :
f(-3)=(-3)²-1=8

f(-2)=(-2)²-1=3

f(-1)=(-1)²-1=0

f(0)=(0)²-1=-1

f(1)=(1)²-1=0

f(2)=(2)²-1=3

f(3)=(3)²-1=8

f={(-3,8),(-2,3),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}

परिसर={-1,0,3,8}

Question 16

निम्नलिखित फलनो का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए
Find the domain and range of the following functions
(i) f(x)=x
Sol :
प्रांत=R, परिसर=R
f(x)=x,x∈R के लिए ,f(2) का मीन वास्तविक होगा

∴प्रांत=R

Let y=f(x)⇒y=x,x के वास्तविक मान के लिए , y∈R परिसर=R

(ii) f(x)=2-3x
Sol :
f(x)=2-3x

x∈R पर , f(x) का मान वास्तविक होगा

∴प्रांत=R

माना y=f(x)
y=2-3x⇒3x=2-y
$x=\frac{2-y}{3}$

x के वास्तविक मान के लिए , y∈R
परिसर=R

(iii) f(x)=x²-1
Sol :
f(x)=x²-1

x∈R, पर f(x) का मान वास्तविक होगा

प्रांत=R

माना y=f(x)

y=x²-1

y+1=x²

$\sqrt{y+1}=x$

x के वास्तविक मान के लिए

y+1≥0

y≥-1

परिसर=[-1,∞]
(iv) f(x)=x²+2
Sol :
f(x)=x²+2
f(x) के वास्तविक मान के लिए ,

x∈R

प्रांत=R

माना y=f(x)⇒y=x²+2

y-2=x²

x के वास्तविक मान के लिए

y-2≥0

y≥2

परिसर=[2,∞)
(v) f(x)=$\sqrt{x-1}$
Sol :
$f(x)=\sqrt{x-1}$

f(x) के वास्तविक मान के लिए,

x-1≥0

x≥1

प्रांत=[1,∞)

माना y=f(x)⇒$y=\sqrt{x-1}$

y²=x-1

y²+1=x

x  के वास्तविक मान के लिए,

y∈R⁺

परिसर=[0,∞)

Question 17

फलन $f(x)=\frac{x^{2}+3 x+5}{x^{2}-5 x+4}$ का प्रांत ज्ञात कीजिए
Sol :
f(x) के वास्तविक मान के लिए,

x∈R-{x:x²-5x+4=0}

x∈R-{1,4}

प्रांत=R-{1,4}

Question 18

फलन f(x)=2-3x,x>0 का परिसर ज्ञात कीजिए
Find the range of the function f(x)=2-3x,x>0
Sol :
माना y=f(x)

y=2-3x

3x=2-y

$x=\frac{2-y}{3}>0$, y∈(-∞,2)

परिसर=(-∞,2)

Question 19

निम्नलिखित फलनो का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए
Find the domain and range of the following functions
(i) {(x,$\sqrt{9-x^{2}}$):x∈R}
Sol :
f(x)=$\sqrt{9-x^{2}}$

f(x) के वास्तविक मान के लिए

9-x²≥0

-x²≤0

x²≥9

-3≤x≤3

प्रात=[-3,3]

माना y=f(x)

$y=\sqrt{9-x^{2}}$

x²=9-y²

$x=\sqrt{9-y^{2}}$

x के वास्तविक मान के लिए

9-y²≥0

-y²≥-9⇒y²≤9

-3≤y≤3

परिसर=[0,3] (∵y≥0)

(ii) {(x,-|x|):x∈R}
Sol :
f(x)=-|x|

f(x) के वास्तविक मान के लिए

x∈R

प्रांत=R

x∈R,f(x)[-∞,0]

परिसर=[-∞,0]

Question 20

निम्नलिखित नियमो द्वारा परिभाषित फलन का परिभाषा, प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए
Find the domain of definition and range of the function defined by the rules:
(i)  f(x)=x²

(ii) g(x)=|x|

(iii) $h(x)=\frac{1}{3-x^{2}}$
Sol :
$h(x)=\frac{1}{3-x^{2}}$

h(x) मे वास्तविक मान के लिए ,

x∈R-{x:3-x²=0}

x∈R-{-√3,3}

प्रांत=R-{-√3,√3}

माना y=f(x)

$y=\frac{1}{3-x^{2}}$

3y-x²y=1

3y-1=x²y

$\frac{3 y-1}{y}=x^{2}$

$\sqrt{\frac{3 y-1}{y}}=x$

x के वास्तविक मान के लिए

3y-1≥0,y≠0

3y≥1,y<0

$y \geq \frac{1}{3}$,

परिसर=(-∞,0)∪$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$

(iv) u(x)=$\sqrt{4-x^{2}}$
Sol :

Question 21

निम्नलिखित नियमो पर विचार कीजिए

Consider the following rules:
(i) f:R→R:f(x)=log_ex
Sol :
f और g फलन नही है

(ii) g:R→R:g(x)=√x
Sol :
x के ऋणात्मक मानो के लिए परिभाषित नही है

(iii) h:A→R:h(x)$=\frac{1}{x^{2}-4}$ , जहाँ (where) A=R-{-2,2}उनमे कौन फलन है ? उनका परिसर ज्ञात कीजिए यदि वे फलन है ।
Sol :
h(x) के वास्तविक मान के लिए

x²-4≠0

x²≠4⇒x≠-2,2

h एक फलन है ।

माना y=f(x)⇒$y=\frac{1}{x^{2}-4}$

x²y-4y=1

x²y=1+4y

$x^{2}=\frac{1+4 y}{y}$

$x=\sqrt{\frac{1+4 y}{y}}$

$x^{2}=\frac{1+4 y}{y}$

$x=\sqrt{\frac{1+4y}{y}}$

x के वास्तविक मान के लिए ,

1+4y≤0,y≠0

या y>0

1+4y≤0

4y≤-1

$y \leq-\frac{1}{4}$

परिसर$=\left(-\infty,-\frac{1}{4}\right] \cup(0,\infty)$

Question 22

मान लीजिए $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$ द्वारा
f:R-{2}→R, तथा g(x)=x+2 g:R→R से परिभाषित है । ज्ञात कीजिए f=g है या नहीं ।
Sol :
Domain(f)=R-{2}

Domain(g)=R

f≠g

Question 23

मान लीजिए कि f:R→R क्रमश f(x)=x+1,g(x)=2x-3 द्वारा परिभाषित है
 f+g,f-g और $\frac{f}{g}$ ज्ञात कीजिए
Sol :
(f+g)(x)=f(x)+g(x)

=x+1+2x-3

=3x-2, जहा f+g:R→R

(f-g)(x)=f(x)-g(x)

=x+1-2x+3

=-x+4 , जहाँ f-g:R→R

$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

$=\frac{x+1}{2 x-3}$ , 2x-3≠0

$=\frac{x+1}{2 x-3}, \quad x \neq \frac{3}{2}$

जहाँ $\frac{f}{g}: R-\left\{\frac{3}{2}\right\} \rightarrow R$

Question 24

मान लीजिए कि f={(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,-3)}Z से Z मे एक रैखिक फलन है और g(x)=x , तो f+g ज्ञात कीजिए
Sol :
(f+g)={(1,2),(2,5),(0,-1),(-1,-4)}

Question 25

ज्ञात कीजिए (Find) f+g,f-g,f.g,$\frac{f}{g}$ और(and) αf(α∈R) यदि(if)
(i) $f(x)=\frac{1}{x+4}, x \neq . .4$ और(and) g(x)=(x+4)³
Sol :
(f+g)(x)=f(x)+g(x)

$=\frac{1}{x+4}+(x+4)^{3}$

$=\frac{1+(x+4)^{4}}{x+4}$,x≠-4

(f-g)(x)=f(x)-g(x)

$=\frac{1}{(x+4)}-(x+4)^{3}$

$=\frac{1-(x+4)^{4}}{x+4}$,x≠-4

(f.g)(x)=f(x).g(x)

$=\left(\frac{1}{x+4}\right) \times(x+4)^{3}$

=(x+4)²
$\left(\frac{f}{g} \right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

$=\frac{\frac{1}{x\neq4}}{(x+4)^{3}}=\frac{1}{(x+4)^{4}}$,x≠-4

α.f=$\alpha \cdot\left(\frac{1}{x+4}\right)$

$=\frac{\alpha}{x+4}$ ,x≠-4

(ii) f(x)=cosx,g(x)=e^x
Sol :

f(x)=cosx, g(x)=e^x

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

=cosx+e^x

(f-g)(x)=f(x)-g(x)
=cosx-e^x

(f.g)x=f(x).g(x)
=cosx.e^x

$\left(\frac{f}{g}\right) x=\frac{f(x)}{g(x)}$

$=\frac{\cos x}{e^{x}}$

=e-^x.cosx

α.f(x)=α.cosx

(iii) f(x)=$\sqrt{x-1}$ , g(x)=$\sqrt{x+1}$
Sol :
(f+g)(x)=f(x)+g(x)

$=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}$ ,x≥1

(f-g)(x)=f(x)-g(x)
$=\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}$,x≥1

(f.g)(x)=$\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$,x≥1
$=\sqrt{x^{2}-1^{2}}$,x≥1
$=\sqrt{x^{2}-1}$,x≥1

$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}$,x≥1

α.f(x)=α$\sqrt{x-1}$,x≥1

Question 26

यदि (If) f(x)=x,g(x)=|x| , ज्ञात कीजिए (find)(f+g)(-2),(f-g)(2),(f.g)(2),$\frac{f}{g}(2), 5 f(2)$
Sol :
(f+g)(x)=f(x)+g(x)

=x+|x|

(f+g)(-2)=-2+|-2|
=-2+2
=0

(f-g)(x)=f(x)-g(x)
=x-|x|

(f-g)(2)=2-|2|=2-2=0

(f.g)(x)=f(x).g(x)
=x.|x|

(f.g)(2)=2.|2|
=2×2=4

$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

$=\frac{x}{|x|}$

$\left(\frac{f}{g}\right)(-2)=\frac{-2}{|-2|}$

$=\frac{-2}{2}=-1$

5f(2)=5×2=10

f(x)=x
f(2)=2

Question 27

Question 28

Question 29

Question 30