KC Sinha: Exercise 28.2- Mathematics Solution Class 11 Chapter 28 विक्षेपण की माप

Question 1

निम्नलिखित के माध्य तथा प्रसरण निकालें
[Find the mean and variance of the following]

(i) 6 ,7 ,10 ,12 ,13 ,4 ,8 ,12

(ii) 65, 58 ,68 ,44 ,48 ,45 ,60 ,62 ,60 ,50

Sol :

(i) 6 ,7 ,10 ,12 ,13 ,4 ,8 ,12

माध्य $(\bar{x})=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}$

=9

माध्य=9

प्रसरण$=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}$

$=\frac{(6-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(13-9)^2+(4-9)^2+(8-9)^2+(12-9)^2}{8}$

$=\frac{(-3)^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+3^{2}+4^{2}+(-5)^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}{8}$

$=\frac{9+4+1+9+16+25+1+9}{8}$

$=\frac{74}{8}-=\frac{37}{4}$

=9.25

(ii) 65, 58 ,68 ,44 ,48 ,45 ,60 ,62 ,60 ,50

माध्य $(\bar{x})=\frac{65+58+67+44+48+45+60+62+60+50}{10}$

$=\frac{560}{10}=56$

प्रसरण $=\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}$

$=\frac{(65-56)^{2}+(58-56)^{2}+(68-56)^{2}+(44-56)^{2}+(48-56)^{2}++(45-56)^{2}+(60-56)^{2}+(62-56)^{2}+(60-54)^{2}+(50-56)^{2}}{10}$

$=\frac{9^{2}+2^{2}+12^{2}+(-12)^{2}+(-8)^{2}+(-11)^{2}+4^{2}+6^{2}+4^{2}+(-6)^{2}}{10}$

$=\frac{81+4+144+144+64+121+16+36+16+36}{10}$

$=\frac{662}{10}$

=66.2

Question 2

10 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त निम्नलिखित अंकों का माध्य तथा मानक विचलन निकालें :

[Find the mean, variance and standard deviation of the following marks scored by 10 students]

45 , 70,  62 , 60 , 50 , 48 , 67 , 34 , 65 , 58

Sol :

माध्य $(\bar{x})=\frac{45+70+62+60+50+48+67+34+65+58}{10}$

$=\frac{559}{10}=55.9$

प्रसरज $\sigma^{2}=\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}$

$=\frac{(45-55.9)^{2}+(70-55.9)^{2}+(62-55.9)^{2}+(60-55.9)^{2}+(50-55.9)^{2}+(48-55.9)^{2}+(67-55.9)^{2}+(34-55.9)^{2}+(65-55.9)^{2}+(58-55.9)^{2}}{10}$

$=\frac{(-10 \cdot 9)^{2}+(14.1)^{2}+(6.1)^{2}+(4.1)^{2}+(-5.9)^{2}+(-7.9)^{2}+(11.1)^{2}+(-21.9)^{2}+(9.1)^{2}+(2.1)^{2}}{10}$

$=\frac{118.81+198.81+37.21+16.81+34.81+62.41+123.21+479.61+82.81+4.41}{10}$

$=\frac{1158.9}{10}$

=115.89

मानक विचलन , 𝝈=√प्रसरण

=√115.89

=10.7652

=10.77

Question 3

आठ प्रेक्षणो का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: 9 और 9.25 हैं। यदि इनमें से छ: प्रेक्षण 6,7,10,12 और 13 है, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना शेष दो प्रेक्षण x तथा y है।

माध्य, $\bar{x}=9$

$\frac{6+7+10+12+12+13+x+y}{8}=9$

60+x+y=72

x+y=12…(i)

∵प्रसरण = 9.25

$\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}=9.95$

$=\frac{(6-9)^{2}+(7-9)^{2}+(10-9)^{2}+(12-9)^{2}+(12-9)^{2}+(13-9)^{2}+(x-9)^{2}+(y-9)^{2}}{8}$

$=\frac{(-3)^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2}+(x-9)^{2}+(12-x-9)^{2}}{8}=9.25$

9+4+1+9+9+16+$x^{2}$-2.x.9$+9^{2}+3^{2}$-2.3.x+$x^2=74$

$139+2 x^{2}-24 x-74=0$

$2 x^{2}-24 x+64=0$

$2\left(x^{2}-12 x+32\right)=0$

$x^{2}-12 x+32=0$

$x^{2}-8 x-4 x+32=0$

x(x-8)-4(x-8)=0

(x-8)(x-4)=0

$\begin{array}{l|l}x-8=0 & x-4=0\\x=8 & x=4 \end{array}$

Case-I : x=8 , y=12-8=4

Case-II : x=4 , y=12-4=8

Question 5

x के संभव मानों को निकालें यदि संख्याएँ 2,3,2x तथा 11 का मानक विचलन 3.5 है।

Sol :

मानक निचलन=3.5

माध्य $\bar{x}=\frac{2+3+2 x+11}{4}=\frac{2 x+16}{4}$

$=\frac{x(x+8)}{4}=\frac{x+8}{2}$

मानक विचलन , 𝝈=3.5

प्रसरण , $\sigma^{2}=12.25$

$ \frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}=12.25$

$\frac{1}{4}\left[\left(2-\frac{x+8}{2}\right)^{2}+\left(3-\frac{x+8}{2}\right)^{2}+\left(2 x-\frac{x+8}{2}\right)^{2}+\left(11-\frac{x+8}{2}\right)\right]=12.25$

$\left(\frac{4-x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{6-x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{4 x-x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{22-x-8}{2}\right)^{2}=49$

$\left(\frac{-x-4}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-x-2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3 x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{14-x}{2}\right)^{2}=49$

$\frac{x^{2}+8 x+16}{4}+\frac{x^{2}+4 x+4}{4}+\frac{9 x^{2}-48 x+64}{4}+\frac{196-28x+x^{2}}{4}=49$

$\frac{x^{2}+8 x+16+x^{2}+4 x+4+9 x^{2}-48 x+64+156-28 x+x^{2}}{4}=49$

$\frac{12 x^{2}-64 x+280}{4}=49$

$4 \left(\frac{3 x^{2}-16 x+70}{4}\right)=49$

$3 x^{2}-16 x+70-49=0$

$3 x^{2}-16 x+21=0$

$3 x^{2}-7 x-9x+21=0$

x(3x-7)-3(3x-7)=0

(3x-7)(x-3)=0

$\begin{array}{l|l}3x-7=0 & x-3=0 \\ 3x=7 & x=3 \\ x=\frac{7}{3} & \end{array}$

Question 6

20 प्रेक्षणो का प्रसरण 5 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा किया गया हो तो प्राप्त प्रेसणों का प्रक्षरण ज्ञात कीजिए ।

Sol :

माना $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots~x_{20}$ प्रेक्षण है, जिनका प्राध्य $\bar{x}$ है।

$\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{20}=5$

$\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=100$

∵प्रत्येक प्रेक्षण मे 2 से गुणा करना है।

∴माध्य भी 2 गुणा हो जाएगा ।

नया प्रसरण $=\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(2 x_{i}-2 \bar{x}\right)^{2}}{20}$

$=\frac{\sum_{i=1}^{20} 4\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{20}$

$=\frac{4 \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{20}$

$=\frac{4 \times 100}{20}$

=20

Question 7

छ: प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए ।

Sol :

माना $x_{1}, x_{2}, x_{3},\ldots, x_{6}$ प्रक्षेण है, जिसका माध्य $\bar{x}=8$ है।

मानक निचलन , 𝜎 =4

$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{6}}=4$

दोनो तरफ वर्ग करने पर

$\frac{\sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{6}=16$

$\sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=96$

प्रत्येक प्रेक्षण 3 से गुणा करना है।

∴माध्य तीन गुणा बढ जाएगा।

माध्य = 8×3 =24

नया मानक विचलन  , 𝛔$=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{6}\left(3 x_{i}-3 \bar{x}\right)^{2}}{6}}$

$=\sqrt{\frac{9 \sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{6}}$

$=\sqrt{9 \times \frac{96}{6}}$

=3×4=12 

Question 8

100 पदों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 50 तथा 4 है। सभी पदों का योग तथा उनके वगौ का योग निकालें ।

Sol :

माना $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{100}$ कुल 100 पद है।

माध्य $\bar{x}=50$, मानक विचलन, 𝝈=4

$\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{100}}{100}=50$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+-x+x_{100}=5000$

मानक विचलन , 𝝈 = 4

$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-50\right)^{2}}{100}}=4$

दोनो तरफ वर्ग करने पर

$\frac{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-50\right)^{2}}{100}=16$

$\left(x_{1}-50\right)^{2}+\left(x_{2}-50\right)^{2}+\left(x_{3}-50\right)^{2}+\ldots+\left(x_{10}-50\right)^{2}=1600$

$x_{1}^{2}-2 \cdot x_{1} \cdot 50+50^{2}+{x_{2}}^{2}-2 \cdot x_{2} \cdot 50+50^{2}+{x_{2}}^{2}-2 x_{3} \cdot 50+{50}^{2}+\dots +{x_{100}}^2-2.x_{100}.50+50^2=1600$

$x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+{x_{3}}^{2}+\cdots-{x_{100}}^{2} -100\left(x_{1}+x_{2}+x_{1}+\ldots+x_{100}\right) +100 \times 50^{2}=1600$

${x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +x_{100}^2-100\times 5000+100\times 2500=1600$

${x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots {x_{100}}^{2}-250000=1600$

${x_{1}}^{2}+x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+\dots +{x_{100}}^{2}=251600$

Question 9

10 प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण निकालते समय एक विद्यार्थी ने 25 की जगह गलती से 52 का प्रयोंग कर दिया। उसके द्वारा प्राप्त माध्य तथा प्रसरण का मान क्रमश: 45 तथा 16 था। सही माध्य तथा प्रसरण निकालें।

Sol :

सही माध्य $=\frac{45 \times 10-52+25}{10}=\frac{450-27}{10}$

$=\frac{423}{10}$

=42.3

गलत प्रसरण =16

$\frac{{\sum x_{i}}^{2}}{10}-45^{2}=16$

$\frac{{\sum x_{i}}^{2}}{10}=2041$

$\sum x_{i}{ }^{2}=20410$

सभी प्रेसरणो के वर्ग का योग 

$=20410-52^{2}+25^{2}$

=20410-2704+625

=18331

सही प्रसरण 

$=\frac{\sum x_{i}{ }^{2}}{n}-\bar{x}^{2}$

$=\frac{18331}{10}-(42.3)^{2}$

=1833.1-1789.29

=43.81

Question 10

200 पदो का समांतर माध्य एवं विचलन क्रमशः 60 तथा 20 पाया जाता है । यदि गणना के समय दो पद गलती से 18 और 17 की जगह क्रमशः 3 तथा 67 ले लिए गए तो सही माध्य तथा मानक विचलन निकाले।

Sol :

सही माध्य $=\frac{200 \times 60-3-67+18+17}{200}$

$=\frac{12000-70+35}{200}=\frac{11965}{200}$

=59.825

=59.8

गलत मानक विचलन = 20

गलत प्रसरण = 400

$\frac{\sum x_{i}{ }^{2}}{200}-60^{2}=400$

$\frac{{\sum x_{i}}^{2}}{200}-3600=400$

$\sum x_{i}{ }^{2}=4000 \times 200$

$\sum {x_{i}}^{2}=800000$ (गलत)

सही $\sum {x_{i}}^{2}=800000-3^{2}-67^{2}+17^{2}+18^{2}$

=800000-9-4489+289+324

=800000-4498+613

=796115

सही मानक विचलन

$=\sqrt{\frac{\sum {x_{i}}^{2}}{n}-\bar{x}^{2}}$

$=\sqrt{\frac{796115}{200}-(59.8)^{2}}$

=√3980.575-3576.04

=√404.535

=20.11

Question 11

यदि किसी बंटन के लिए $\Sigma(x-5)=3, \Sigma(x-5)^{2}=43$ तथा कुल पदों की संख्या N=18, तो माध्य तथा मानक विचलन निकालें।

Sol :

$\sum_{i=1}^{18}\left(x_{i}-5\right)=3$

$\sum_{i=1}^{18} x_{i}-\sum_{i=1}^{18} 5=3$

$\sum_{z=1}^{18} x_{i}-18 \times 5=3$

$\sum_{i=1}^{18} x_{i}=93$

माध्य$=\frac{93}{18}$

=5.16….

=5.17

$\sum_{i=1}^{18}\left(x_{i}-5\right)^{2}=43$

$\sum_{i=1}^{18}\left({x_{1}}^{2}-2 \cdot x_{i} 5+5^{2}\right)=43$

$\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}-10 \sum_{i=1}^{18} x_{i}+\sum_{i=1}^{18} 25=43$

$\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}-10 \times 93+25 \times 18=43$

$\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}-930+450=43$

$\sum_{i=1}^{18} x_{i}{ }^{2}-480=43$

$\sum_{i=1}^{18} x_{i}^{2}=523$

मानक विचलन 

$=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}}{18}-\bar{x}^{2}}$

$=\sqrt{\frac{523}{18}-(5.17)^{2}}$

=√29.06-26.72

=√2.34

=1.52

Question 12

माना लीजिए कि चर x और y के समांतर माध्य क्रमशः $\bar{x}$ तथा $\bar{y}$ है और 6x तथा 6y उनके मानक विचलन हैं। यदि चर x तथा y,  m y=n x+k , जहाँ m, n, k अचर हैं, से सम्बन्धित हो तो दिखाइए कि

(i) $m \bar{y}=n \bar{x}+k$

(ii) $m^{2} \sigma_{y}^{2}=n^{2} \sigma_{x}^{2}$

Sol :

(i)

LHS

$m \bar{y}=m \cdot \frac{\sum y}{f}$ , जहाँ f कुल वारंवारता है

$=\frac{m \cdot \sum \frac{n x+k}{m}}{f}$  [my=nx+k ,$y=\frac{nx+k}{m}$ ]

$=\frac{m}{m} \frac{\sum n x+k}{f}$

$=\frac{\sum n x}{f}+\frac{\sum k}{f}$

$=n \frac{\sum x}{f}+\frac{\sum k}{f}$

$=n \bar{x}+\frac{k f}{f}$

$=n \bar{x}+k$

(ii)

LHS

$m^{2} \sigma_{y}^{2}=m^{2}\left[\sqrt{\frac{\sum(y-\bar{y})^{2}}{f}}\right]^{2}$ , जहाँ f कुल वारंवारता है।

$=\frac{m^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}{f}=\frac{\sum(m y-m \bar{y})^{2}}{f}$

$=\frac{\sum\left[n x+k-(n \bar{x}+k)\right]^z}{f}$

$=\frac{\sum[mx+k-n \bar{x}-k]^{2}}{f}$

$=n^{2} \frac{\sum(x-\bar{x})^{2}}{f}$

$=n^{2} \cdot \sigma_{x}^{2}$

Question 13

निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य तथा मानक विचलन निकालें :

(Find the mean and standard deviation of the following distribution)

Sol :

माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$

$=\frac{3020}{70}$

$\bar{x}=43.14$

मानक विचलन  , 𝝈$=\sqrt{\frac{\sum f_{1}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{\sum f_{1}}}$

$=\sqrt{\frac{12308.572}{70}}$

=√175.83

=13.26

Question 14

निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्य तथा मानक विचलन निकालें :

[Find the mean and standard deviation for the following data]

Sol :

माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{2200}{22}$

=100

मानक विचलन $\sqrt{ \frac{\sum f_i x_{i}^{2}}{h}-\bar{x}^{2}}$

$=\sqrt{\frac{220640}{22}-(100)^{2}}$

=√10029.09-10000

=√29.09=5.39

Question 15

(i) निम्नलिखित आँकड़ों के लिए प्रसरण तथा मानक विचलन निकालें 

[Find the variance and standard deviation for the following data]

Sol :

माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{420}{30}$

=14

प्रसरण $=\frac{\sum f_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)}{\sum {f i}}$

$=\frac{1374}{30}$

=45.8

मानक विचलन =√45.8=6.7675….

=6.77

Question 16

निम्नलिखित बारम्बारता सारणी किसी जन्मदिन की पार्टी में आमत्रित 50 बच्चो के एक समूह की आयु देती है। बंटन का माध्य तथा मानक विचलन निकालें

Sol :

माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{442}{50}$

=8.84

मानक विचलन

$=\sqrt{\frac{\sum f_{i} x_{i}{ }^{2}}{h}-(\bar{x})^{2}}$

$=\sqrt{\frac{4252}{50}-(8.84)^{2}}$

=√85.04-78.1456

=√6.8944

=2.62

Question 18

(i) लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण और मानक विचलन निकालें 

[Find the mean, variance and S.D. using short-cut-method]:

Sol :

माध्य $(\bar{x})=a+\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$

$=55+\frac{60}{60}$

=56

प्रसरण$=\frac{\sum f_{i} {d_{i}}^{2}}{n}-\left(\frac{\sum f_{i} d_{i}}{n}\right)^{2}$

$=\frac{254000}{60}-\left(\frac{60}{60}\right)^{2}$

=423.33-1

=422.33

मान्क विचलन=√422.33

=20.55

Question 19

(i) निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य तथा प्रसरण ज्ञात कीजिए 

[Find the mean and variance of the following distribution]:

Sol :

माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=105+\frac{60}{30}$

=107

प्रसरण $=\frac{\sum f_i {d_i}^2}{n}-\left(\frac{\sum f_i d_i}{n}\right)^2$

$=\frac{68400}{30}-\left(\frac{60}{80}\right)$

=2280-4

=2276