KC Sinha: Exercise 28.1- Mathematics Solution Class 11 Chapter 28 विक्षेपण की माप

Question 1

निम्नलिखित आंकड़ो के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :

(i) 30,40,70,60,20,10,50

Sol :

10,20,30,40,50,60,70

माध्य$(\overline{{x}})=\frac{10+20+30+40+50+60+70}{7}$ $=\frac{280}{7}$

माध्य विचलन$\left(\overline{x}\right)=\frac{|10-40|+|20-40|+|30-40|+|40-40|+|50-

40|+|60-40|+|70-40|}{7}$

$=\frac{30+20+10+0+10+20+30}{7}=\frac{120}{7}$

=17.1

(ii) 4,7,8,9,10,12,13,17

Sol :

माध्य$(\overline{{x}})=\frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8}$

$=\frac{80}{8}=10$

माध्य विचलन$\left(\overline{x}\right)=\frac{|4-10|+|7-10|+|8-10|+|9-10|+|10-10|+|12-10|+|13-10|+|17-10|}{8}$

$=\frac{6+3+2+1+0+2+3+7}{8}$

Question 2

निम्नलिखित आँकडों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
[Find the mean deviation from the median for the following data :]

(i) 22, 24, 30, 27, 29, 31, 25, 41, 42

Sol :

22, 24, 25, 27 , 29 , 30 , 31 , 41 , 42

माध्यिका (M)=29

माध्य विचलन (δM)$=\frac{|22-29|+|24-29|+|25-29|+|27-29|+|29-29|+|30-29|+|31-29|+|41-29|+|42-29|}{9}$

$=\frac{7+5+4+2+0+1+2+12+13}{9}=\frac{46}{9}$

=5.1

(ii) 13, 17, 16, 14 , 11, 13 ,10 ,16 ,11 ,18 ,12 ,17
Sol :

10,11,11,12,13,13,14,16,16,17,17,18

माध्यिका $=\frac{13+14}{2}=\frac{27}{2}$

M=13.5

माध्य विचलन (δ_M)

$=\frac{|10-12.5|+|11-13.5|+|11-13.5|+|12-13.5|+|13-13.5|+|13-13.5|+|14-13.5|+|16-13.5|+|16-13.5|+|17-13.5|+|17-13.5|+|18-13.5|}{12}$

$=\frac{3.5+2.5+2.5+1.5+0.5+0.5+0.5+2.5+2.5+3.5+3.5+4.5}{12}$

$=\frac{28}{12}$

=2.33

Question 3

6,8,5,7, x तथा 4 का माध्य 7 है इन अवलोकनों का माध्यिका के परित: माध्य विचलन निकालें।

Sol :

6,8,5,7, x तथा 4 का माध्य = 7

$\frac{6+8+5+7+x+4}{6}=7$

30+x=42

x=12

वंटन : 6 , 8 , 5 , 7 ,12 ,4

⇒4,5,6,7,8,12

माध्यिका$=\frac{6+7}{2}=\frac{13}{2}$

=6.5

माध्य विचलन (δ_M)

$=\frac{|4-6.5|+|5-6.5|+|6-6.5|+|7-6.5|+|8-6.5|+|12-6.5|}{6}$

$=\frac{2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+5.5}{6}=\frac{12}{6}$

=2

Question 4

किसी दुकान में 10 दंडों की लंबाई सेमी में नीचे दिए गए है :

420, 52.3 ,55.2, 729, 528 , 790 , 32.5 , 15.2 , 279 , 30.2

(i) माध्यका से माध्य विचलन निकालें

(ii) माध्य से माध्य विचलन निकालें

Sol :

10 दंड़ो की लंम्बाई : 15.2, 27.9 , 20.2, 32.5, 42, 52.3, 52.8, 55.2, 72.9, 79

माध्य $(\overline{x})=\frac{15.2+27.9+30.2+32.5+42+52.3+52.8+55.2+72.9+79}{10}$

$=\frac{460}{10}=46$

माध्यिका $=\frac{42+52.3}{2}=\frac{94.3}{2}$

=47.15

(i) माध्य विचलन (δ_M)

$=\frac{|15.2-47.15|+|27.9-47.15|+|30.2-47.15|+|32.5-74.15|+|42-47.15|+|52.3-47.15|+|52.8-47.15|+|55.2-47.15|+|55.2-47.15|+|72.9-47.15|+|79-49.15|}{10}$

$=\frac{31.95+19.25+16.95+14.65+5.15+5.15+5.65+8.05+25.75+31.85}{10}$

$=\frac{164.4}{10}$

=16.44

माध्यिका (M) 

$=\frac{42+52.3}{2}=\frac{94.3}{2}$

=47.15

$=\frac{|15.2-46|+|27.9-46|+|30.2-46|+|32.5-46|+|42-46|+|52.3-46|+|52.8-46|+|55.2-46|+|72.9-46|+|79-46|}{10}$

$=\frac{30.8+18.1+15.8+13.5+4+6.3+6.8+9.2+26.9+33}{10}$

$=\frac{164.4}{10}$

=16.44

Question 5

निम्नलिखित प्रन्नों में दिए गए आँकड़ो का माध्य से माध्य विचलन निकाले 

[Find the mean deviation from the mean for the data in the following questions :

(i)

Sol :

$MD~\left(\delta_{\overline{x}}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{n} f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$

माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{234}{26}$

=9

(ii)

Sol :

माध्य $\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$

$=\frac{300}{40}=7.5$

M.D$\delta _{\bar{x}}=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}$

$=\frac{92}{40}=2.3$

Question 6

निम्निखित अवलोकनों के समूह का माध्यिका से माध्य विचलन निकालें 

[Find the mean deviation from median for the following set of observations]

(i)

Sol :

माध्यिका (M)$=\frac{n+1}{2}$वाँ पद

$=\frac{29+1}{2}$ वाँ पद

$=\frac{30}{2}$ वाँ पद

=15 वाँ पद

M=30

MD$\delta _{m}=\frac{\sum f_i |x_i-m|}{\sum f_i}$

$=\frac{148}{29}$

=5.1

(ii)

Sol :

माध्यिका $=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ पद}+\left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ पद}\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{50}{2}\text{वाँ पद}+\left(\frac{50}{2}+1\right)\text{वाँ पद}\right]$

$=\frac{1}{2}[13+13]$

$=\frac{1}{2}\times 26$

m=13

MD $\delta_{m}=\frac{\sum f_i |x_i-m|}{\sum f_i}$

$=\frac{136}{50}$

=2.72

Question 7

निम्नलिखित बारंबारता वितरण के लिए माध्यका से माध्य विचलन निकालें

Sol :

माध्यिका $=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ पद}+\left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ पद}\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{24}{2}+\left(\frac{24}{2}+1\right)\right]$

$=\frac{1}{2}[17+17]$

$=\frac{1}{2}$

MD $\delta_{m}=\frac{\sum f_i |x_i-m|}{\sum f_i}$

$=\frac{45}{24}$

=1.8

Question 8

निम्नलिखित्वि माध्यिका से माध्य विचलन की गणना करें

[Compute the mean deviation from the median of the following distribution]

Sol :

$\frac{n}{2}=\frac{50}{2}$

=25 से ठीक बड़ी संचची बारंबरता वाले को माधियका वर्ग करलाता है।

माध्यिका वर्ग=20-30

l=20 , cf=13 ,

f=15 , h=10

माध्यिका (M)$=l+\left(\dfrac{\frac{n}{2}-c}{f}\right)\times h$

$=20+\left(\frac{25-13}{15}\right) \times 10$

$=20+\frac{12}{15}\times 10$

M=28

MD $(\delta_{m})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i-m| }{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{508}{50}$

=10.16

Question 9

निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य से माध्य विचलन तथा माध्य विचलन गुणांक निकालें।

Sol :

माध्य $(\bar{x})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{680}{50}=13.6$

MD $(\delta _{\bar{x}})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i-{\bar{x}}|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{249.6}{50}$

=4.992

MD गुणांक $=\frac{\delta_{\bar{x}}}{\bar{x}}=\frac{4.992}{13.6}$

Question 10

निम्निखित अवलोंकनों के लिए माध्य से माध्य विचलन निकालें

[Find the mean deviation from the mean for the following observations]:

Sol :

माध्य $(\bar{x})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{1800}{40}=45$

MD $(\delta _{\bar{x}})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i-{\bar{x}}|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{400}{40}$

=10

Question 11

निम्नलिखित वितरण के माध्यिका से माध्य विचलन निकाले।

[Find the mean deviation from the median of the following distribution]

Sol :

$\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$=20 से ठीक बड़ी संचची बारंबारता वाला वर्ग माध्यिका वर्ग होगा।

माध्यिका वर्ग=40-50

l=40 , cf=11 ,

f=12 , h=10

माध्यिका(M)$=l+\frac{\left(\frac{n}{2}-cf\right)}{f} \times f$

$=40+\frac{(20-11)}{12} \times 10$

$=40+\frac{9}{12}\times 10$

$=40+\frac{15}{2}$

=40+7.5=47.5

MD $(\delta_{m})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i -m|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{405}{40}$

=10.125

(ii) निमलिखित वितरण कें माध्यका से माध्य विचलन निकालें 

[Find the mean deviation from the median of the following distribution]:

Sol :

$\frac{n}{2}=\frac{50}{2}$

=25 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता वाला वर्ग माधियका वर्ग है।

माध्यिका वर्ग=20-30

l=20, cf=14

f=14 , h=10

माध्यिका (m) $=l+\dfrac{\left(\frac{n}{2}-cf\right)}{f}\times h$

$=20+\frac{25-14}{14} \times 10$

$=20+\frac{11}{14} \times 10$

=20+7.86

MD$(\delta_{m})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i|x_i-m|}{\sum_{i=1}^{n}}$

$=\frac{517.16}{50}$

=10.3432

Question 12

100 विद्यार्थियों के ऊँचाई का वितरण निम्नलिखित हैं 

[The height distribution of 100 children is as follows]:

माध्य ऊँचाई से माध्य विचलन निकालें 

[Calculate the mean deviation from the mean height.]

Sol :

माध्य $(\bar{x})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

MD$(\delta_{\bar{x}})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{1128.8}{100}$

=11.288

Question 13

नीचे दिए गए 100 व्यक्तियों की आयु के बंटन की माध्यका आयु के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना कीजिए।

Sol :

अच्च सीमा मे 0.5 जोड़ने पर $\frac{n}{2}=\frac{100}{2}$

=50 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता वाला वर्ग माध्यिका वर्ग है।

माध्यिका वर्ग = 35.5-40.5

l=35.5, cf=37

f=26 , h=5

$m=l+\dfrac{\left(\frac{n}{2}-cf\right)}{f}\times h$

$=35.5+\frac{(50-37)}{26} \times 5$

$=35.5+\frac{13}{26} \times 5$

=35.5+2.5=38

MD $(\delta_{m})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i|x_i-m|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{735}{100}$

=7.35