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Question 1
अतिपरवलय का समीकरण निकालें जिसके लिए उत्कोन्द्रता 2, एक नाभि (2,2) तथा संगत नियता x+y=9 है ।
[Find the equation to the hyperbola for which eccentricity is 2, one focus is (2,2) and the corresponding directrix is x+y=9.]
Sol :
माना P(x,y) अतिपरवलय पर स्थित बिन्दु है।
$\frac{P S}{P M}=e$
PS=e.PM
$\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}=2 \cdot\left|\frac{x+y-9}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\right|$
$(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4 \frac{(x+y-9)^{2}}{2}$
$x^{2}-4 x+4+y^{2}-4 y+4=2\left(x^{2}+y^{2}+9^{2}+2 x y-2 y .9-2.9.x\right)$
$x^{2}+y^{2}-4 x-4 y+8=2x^2+2y^2+16^2+4xy-36y-36x$
$0=2 x^{2}+2 y^{2}+162+4xy-36y-36x-x^{2}-y^{2}+4 x+4 y-8$
$x^{2}+y^{2}+4 x y-32 x-32 y+154=0$
Question 3
अनुप्रस्थ अक्ष तथा संयुग्मी अक्ष क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष के अनुदिश लेते हुए अतिपरवलय का समीकरण निकाले जिसके संयुग्मी अक्ष को लम्बाई 5 है तथा नाभियो के बीच की दूरी 13 है।
[Find the equation of the hyperbola whose conjugate axis is 5 and the distance between the foci is 13 , taking transverse and conjugate axes along x and y-axes respectively.]
Sol :
अनुप्रस्थ अक्ष तथा संयुग्मी अक्ष क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष के अनुदिशा लेते हुए अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , $b^{2}=c^{2}-a^{2}$ या $a^{2}=c^{2}-b^{2}$
2b=5 ⇒ $b=\frac{5}{2}$
2c=13 ⇒ $c=\frac{13}{2}$
$a=\sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{165}{4}-\frac{25}{2}}$
$=\sqrt{\frac{144}{7}}=\frac{11}{2}$
=6
∴अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=1$
$\frac{3x^{2}}{36}-\frac{4 y^{2}}{25}=1$
$\frac{25 x^{2}-144 y^{2}}{900}=1$
$25 x^{2}-144 y^{2}=900$
Question 4
अतिपरवलय का समीकरण निकाले जिसकी नाभियाँ (0,±4) है तथा अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई 6 है।
[Find the equation of the hyperbola having foci (0,±4) and transverse axis of length 6]
Sol :
अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनिुदिश होगा ।
C=4 , अनुप्रस्थ अक्ष की लंम्बाई =6
2a=6
a=3
$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
=√16-9
=√7
∴अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{y^{2}}{3^{2}}-\frac{x^{2}}{(\sqrt{7})^{2}}=1$
$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{7}=1$
Question 5
अतिपरवलय का समीकरण निकाले जिसके शीर्ष (0,±6) तथा उत्केन्द्रता 5/3 है।
[Find the equation of the hyperbola with vertices at (0, ±6) and eccentricity 5 / 3 .]
Sol :
अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनिुदिश होगा ।
a=6 , $e=\frac{5}{3}$
$\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$
$\frac{c}{6}=\frac{5}{3}$
c=10 ,
$b=\sqrt{10^{2}-6^{2}}$
b=8
∴अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{y^{2}}{6^{2}}-\frac{x^{2}}{8^{2}}=1$
$\frac{y^{2}}{36}-\frac{x^{2}}{64}=1$
Question 6
अतिपरवलय का समीकरण निकालें जिसके शीर्ष (0,±5) तथा नाभियाँ (0, ±8)$ हैं।
[Find the equation of the hyperbola having vertices (0,±5) and foci (0,±8)]
Sol :
अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश होगा।
a=5 , c=8
$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{8^{2}-5^{2}}$
=√64-25
=√39
$\frac{y^{2}}{5^{2}}-\frac{x^{2}}{(\sqrt{39})^{2}}=1$
$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{39}=1$
Question 7
Question 8
अतिपरवलय का समीकरण निकालें जब
[Find the equation of the hyperbola having]
(i) नाभियाँ (±4,0) तथा नाभिलम्य की लम्बाई 12 है
[foci (±4,0) and the length of latus rectum 12]
Sol :
अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश होगा।
c= 4, $\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{+6}{2}$
$\frac{c^{2}-a^{2}}{a}=6$
$\frac{4^{2}-a^{2}}{a}=6$
$16-a^{2}=6 a$
$0=a^{2}+6 a-16$
$0=a^{2}+8 a-2a-16$
0=a(a+8)-2(a+8)
0=(a+8)(a-2)
a=-8 ,2
a=2
$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}$
=√16-4
=√12
∴अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{(\sqrt{12})^{2}}=1$
$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
Question 9
अतिपरवलय का समीकरण निकालें जब
[Find the equation of the hyperbola having]
(i) नाभियाँ (0,±13) तथा संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 24 है।
[foci (0, ±13) and length of conjugate axis 24.]
Sol :
अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश
C=13 ,
2b=24
b=12
$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}$
a=5
∴अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{y^{2}}{5^{2}}-\frac{x^{2}}{12^{2}}=1$
$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{144}=1$
Question 10
अतिपरवलय का समीकरण निकालें जिसका शीर्ष (±7,0) है तथा $e=\frac{4}{3}$.
[Find the equation of the hyperbola having vertices (±7,0) and $e=\frac{4}{3}$ ]
Sol :
अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश
a=7 , $e=\frac{4}{3}$
$\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$
$\frac{c}{7}=\frac{4}{3}$
$c=\frac{28}{3}$
$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
$=\sqrt{\left(\frac{28}{3}\right)^{2}-7^{2}}$
$=\sqrt{\frac{784}{9}-49}$
$=\sqrt{\frac{784-441}{9}}=\frac{\sqrt{34}]}{3}$
∴अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{x^{2}}{7^{2}}-\frac{y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{343}}{3}\right)^{2}}=1$
$\frac{x^{2}}{45}-\frac{9 y^{2}}{343}=1$
Question 11
अतिपरवलय का समीकरण निकाले जिसका शीर्ष (±6,0) है तथा एक नियता x=4 है।
[Find the equation of the hyperbola whose vertices are (±6,0) and one of the directrices is x=4.]
Sol :
अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश होगा ।
a=6 , नियता x=4
$\frac{a}{e}=4$
$\frac{6}{e}=4$
$e=\frac{6}{4}$
$\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$
$\frac{c}{6}=\frac{3}{2}$
c=9
$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
$=\sqrt{9^{2}-6^{2}}$
=√81-36=√45
∴अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{(\sqrt{45})^{2}}=1$
$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{45}=1$
Question 12
अतिपरवलय का समीकरण निकाले यदि
(i) नाभिवों के बीच की दूरी 9 है तथा उत्केन्रता √3, है और अनुप्रस्थ अक्ष तथा संयुग्मी अक्ष क्रमश: x-अक्ष और y-अक्ष के अनुदिशा है ।
Sol :
2c=9 , $c=\frac{9}{2}$ , e=√3
$\frac{c}{a}=\sqrt{3}$
$\frac{9}{2 a}=\sqrt{3}$
$a=\frac{9}{2 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$a=\frac{9 \sqrt{3}}{2 \times 3}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
$b=\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{81}{4}-\frac{27}{4}}$
$=\sqrt{\frac{54}{4}}=\frac{27}{2}$
∴अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{x^{2}}{\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}}-\frac{y^{2}}{\left(\sqrt{ \left.\frac{27}{2}\right.}\right)^{2}}=1$
$\frac{4 x^{2}}{27}-\frac{2 y^{2}}{27}=1$
$4 x^{2}-2 y^{2}=27$
(ii) नाभियाँ (6,4) तथा (-4,4) हैं तथा उत्केन्दता 2 है।
[Find the equation to the hyperbola if]
Sol :
नाभियाो के बीच की दूरी
=2C$=\sqrt{(6+4)^{2}+(4-4)^{2}}$
2C+10
C=5
e=2
$\frac{c}{a}=2$
$\frac{5}{a}=2$
$a=\frac{5}{2}$
केन्द्रः $\left(\frac{6-4}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=(1,4)$
$b=\sqrt{5^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{25-\frac{25}{4}}$
$6=\sqrt{\frac{7{5}}{4}}$
∴अतिपरवलय का समीकरण
$\frac{(x-1)^{2}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}-\frac{(y-4)^{2}}{\left(\sqrt{\frac{75}{4}}\right)^{2}}=1$
$\frac{4(x-1)^{2}}{25}-\frac{4(y-4)^{2}}{75}=1$
$\frac{12\left(x^{2}-2 x+1\right)-4\left(y^{2}-8 y+16\right)}{75}=1$
$12 x^{2}-24 x+12-4 y^{2}+32 y-64=75$
$12 x^{2}-4 y^{2}-24 x+32 y-127=0$
Question 13
एक अतिपरवलय के नाभियों के निर्दशांक (±6,0) हैं तथा इसका नाभिलम्ब 10 इकाई है। अतिपरवलय का समीकरण निकालें।
[The co-ordinates of the foci of a hyperbola are (±6,0) and its latus rectum is of 10 units. Find the equation of the hyperbola.]
Sol :
Question 15
अतिपरवलय $4x^{2}-9 y^{2}=36$ का अक्ष नाभियों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब निकालें
[For the hyperbola $4 x^{2}-9 y^{2}=36$, find the axes, the coordinates of the
foci, the eccentricity, and the latus rectum.]
Sol :
$4 x^{2}-9y^{2}=36$
$\frac{4 x^{2}}{36}-\frac{9y^{2}}{36}=1$
$\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$
अतिपरवलय x-अक्ष के अनुदिश होगा , जिसका केन्द्र मूल बिन्दु है।
a=3 , b=2
अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई =2a = 2×3 =6
संयुग्मी अक्ष की लम्बाई= 2b = 2×2= 4
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}$
$c=\sqrt{13}$
नाभियाँ $(\pm c, 0)=(\pm \sqrt{13}, 0)$.
उत्केन्द्रता $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3}$
नाभिलंव की लम्बाई $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2(2)^{2}}{3}=\frac{8}{3}$
Question 16
अतिपरवलय $4 x^{2}-25 y^{2}=100$ का शीर्ष, नाभियाँ, उत्केन्द्रता तथा नियताओं के समीकरण
निकालें ।
[Find the coordinates of the vertices, the foci, the eccentricity and the equations of directrices of the hyperbola $\left.4 x^{2}-25 y^{2}=100 .\right]$
$4 x^{2}-25 y^{2}=100$
$\frac{4 x^{2}}{100}-\frac{25 y^{2}}{100}=1$
$\frac{x^{2}}{5^{2}}-\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$
अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष है तथा केन्द्र मूल बिन्दु हो।
a=5 , b=2
$c=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}$
शीर्ष (±5,0) ; नाभियाँ $(\pm \sqrt{29}, 0)$
$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{29}}{5}$ , नियता का समीकरण $x=\pm \frac{5}{\frac{\sqrt{29}}{5}}$
Question 19
अतिपरवलय $16 x^{2}-9 y^{2}+32 x+36 y-164=0$ का केन्र, उत्केन्द्रता , नाभियाँ तथा नियताओं के समीकरण निकालें।
[Find the centre, eccentricity, foci and directrices of the hyperbola $\left.16 x^{2}-9 y^{2}+32 x+36 y-164=0 .\right]$
Sol :
$16 x^{2}-9 y^{2}+32 x+36 y-164=0$
$16\left(x^{2}+2 x\right)-9\left(y^{2}-4 y\right)=164$
$16\left[x^{2}+2 \cdot x \cdot 1+1^{2}-1^{2}\right]-9\left[y^{2}-2 \cdot y \cdot 2+2^{2}-2^{2}\right]=164$
$16(x+1)^{2}-16-9(y-2)^{2}+36=164$
$16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=144$
$\frac{16(x+1)^{2}}{144}-\frac{9(y-2)^{2}}{144}=1$
$\frac{(x+1)^{2}}{3^{2}}-\frac{(y-2)^{2}}{4^{2}}=1$
अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के समांतर होगा ।
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$a=3, b=4, c-\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
X=x+1 , Y=y-2
(i) X=0 , Y=0
x+1=0 , y-2=0
x=-1 , y=2
केन्द्र (-1,2)
(ii) $e=\frac{5}{3}$
(iii) नाभिका
X=±C , Y=0
x+1=±5 ; y-2=0
x=4 , -6 ; y=2
नाभियाँ (4,2) तथा (-6 , 2)
(iv) नियता का समीकरण
$x=\pm \frac{a}{e}$
$x+1=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}$
$x+1=\pm \frac{9}{5}$
$\begin{array}{l|l}x+1=\frac{9}{5} & x+1=-\frac{9}{5} \\5 x+5=9 & 5 x+5=-9 \\ 5 x-4=0 & 5 x+14=0 \end{array}$
Question 22
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, रेखाओं $7 x+13 y-87=0$ तथा $5 x-8 y+7=0$ के प्रतिच्धेद बिन्दु से जाती है तथा इसका नाभिलम्ब $\frac{32 \sqrt{2}}{5}$. है तो a तथा b निकालें
Sol :
रेखाओ का प्रतिच्छेद बिन्दु
7x+13y-87=0…(i)×5
5x-8y+7=0…(ii)×7
x=5 ; y=4
∵अतिपरवलय (5,4) से गुजर रहा है।
$\frac{5^{2}}{a^{2}}-\frac{4^{2}}{b^{2}}=1$
$\frac{25}{a^{2}}-\frac{16}{b^{2}}=1$…(iii)
∵नाभिलंब की लंबाई $=\frac{32 \sqrt{2}}{5}$
$\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{32 \sqrt{2}}{5}$
$b^{2}=\frac{16 \sqrt{2}}{5} \mathrm{a}$
समिकरण (iii) से,
$\frac{25}{a^{2}}-\frac{16}{\frac{16 \sqrt{2} a}{5}}=1$
$\frac{25}{a^{2}}-\frac{5}{\sqrt{2} a}=1$
$\frac{25 \sqrt{2}-5 a}{\sqrt{2 a^{2}}}=1$
$\sqrt{2} a^{2}=25 \sqrt{2}-5 a$
$\sqrt{2} a^{2}+5 a-25 \sqrt{2}=0$
$\sqrt{2 }a^{2}+10 a-5 a-25 \sqrt{2}=0$
$\sqrt{2} a(a+5 \sqrt{2})-5(a+5 \sqrt{2})=0$
$(a+5 \sqrt{2})(\sqrt{2} a-5)=0$
$\begin{array}{l|l}a+5 \sqrt{2}=0 & \sqrt{2}a=5 \\ a=-5\sqrt{2} & a=\frac{5}{\sqrt{2}} \end{array}$
∵$a=\frac{5}{\sqrt{2}}$
∴$b^{2}=\frac{16\sqrt{2}}{5} \times \frac{5}{\sqrt{2}}$
b=4
Question 23
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 .$ पर किसी बिन्दु P का कोटि PN है। यदि Q, AP, को $a^{2}: b^{2}$ के अनुपात में बँटती है तो दिखाएं कि NQ,AP पर लम्ब है जहाँ $\mathrm{AA}^{\prime}$ अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष है।
Sol :
माना बिन्दु P का निर्देशांक =(x,y)
माना Q, AP का मंध्य बिन्दु हो Q का निर्देशांक $=\left(\frac{a+x}{2}, \frac{y}{2}\right)$ (यदि संभव हो तो)
∵Q, AP को $a^{2}: 6^{2}$ के अनुपात मे बाटता है
Q का निर्देशांक $=\left(\frac{a^{2} \cdot x+b^{2} \cdot a}{a^{2}+b^{2}}, \frac{a^{2} \cdot y+b^{2} \cdot 0}{a^{2}+b^{2}}\right)$
$=\left(\frac{a^{2} x+a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \frac{a^{2} y}{a^{2}+b^{2}}\right)$
y के नियामंको को बराबर करने पर
$\frac{y}{2}=\frac{a^{2} y}{a^{2}+b^{2}}$
$2 a^{2}=a^{2}+b^{2}$
$a^{2}=b^{2}$
a=b
यदि a=b , तो Q, AP को दो बराबर भागो मे बाटता है।