KC Sinha: Exercise 19.2 - Mathematics Solution Class 11 Chapter 19 वृत्त

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Question 1

निम्नलिखित वृत्त के केन्द्र तथा त्रिज्या निकाले।
[Find the centre and radius of the following circles]

(i) x²+y²-8x-12y-48=0
Sol :
⇒x²+y²-8x-12y-48=0
⇒2g=-8 , 2f=-12 ,c=-48
⇒g=-4 ,f=-6

केन्द्र (4,6) , त्रिज्या $=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2-(-48)}$
$=\sqrt{16+36+48}$
$=\sqrt{100}=10$

(ii) x²+y²-ax-by=0
Sol :
⇒x²+y²-ax-by=0
⇒2g=-a ,2f=-b ,c=0
⇒$g=-\frac{a}{2}$ ,$f=-\frac{b}{2}$

केन्द्र $\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)$

त्रिज्या$=\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2+\left(-\frac{b}{2}\right)^2=0}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$

(iii) 3x²+3y²+12x-18y-11=0
Sol :
⇒3x²+3y²+12x-18y-11=0
3 से भाग देने पर,

$\frac{3x^2}{3}+\frac{3y}{3}+\frac{12x}{3}-\frac{18y}{3}-\frac{11}{3}=0$

⇒x²+y²+4x-6y-$\frac{11}{3}$=0

2g=4 , 2f=-6 , $c=-\frac{11}{3}$

g=2 , f=-3

केनद्र (-2,3), त्रिज्या $=\sqrt{2^2+(-3)^2-\left(-\frac{11}{3}\right)^2}$

$=\sqrt{4+9+\frac{11}{3}}=\sqrt{\frac{50}{3}}$

$=5\sqrt{\frac{2}{3}}$

(iv) x²+y²-2x+4y=0
Sol :

(v) $\frac{1}{2}(x^2+y^2)+x\cos \theta +y\sin \theta -4=0$
Sol :
2 से गुणा करने पर,

⇒x²+y²+2xcosθ+2ysinθ-8=0
⇒2g=2cosθ ,2f=2sinθ ,c=-8
⇒g=cosθ ,f=sinθ

केन्द्र (-cosθ,-sinθ) ,त्रिज्या $=\sqrt{\cos^2 \theta +\sin^2 \theta -(-8)}$
$=\sqrt{1+8}=3$

Question 2

साबित करे कि वृत्त के केन्द्र (Prove that the centre of the circles) x²+y²=1, x²+y²+6x-2y-1=0 तथा(and) x²+y²-12x+4y-1=0 संरेख है (are collinear)
Sol :

वृत्त  x²+y²=1 का केन्द्र
⇒2g=0 , 2f=0
⇒g=0,f=0

केन्द्र=A(0,0)

वृत्त  x²+y²+6x-2y-1=0 का केन्द्र
⇒2g=6 , 2f=-2
⇒g=3,f=-1

केन्द्र=B(-3,1)

वृत्त  x²+y²-12x+4y=1 का केन्द्र
⇒2g=-12 , 2f=4
⇒g=-6,f=2

केन्द्र=C(6,-2)

Question 4

साबित करे कि वृत्त x²+y²=1,x²+y²-2x-6y=6 तथा x²+y²-4x-12y=9 की त्रिज्या समान्तर श्रेणी मे है।
[Prove that th radii of the circles x²+y²=1,x²+y²-2x-6y=6 and x²+y²-4x-12y=9 are in arithmetic progression]
Sol :
वृत्तः x²+y²=1
⇒(x-0)²+(y-0)²=1²

केन्द्रः(0,0) ,त्रिज्या=1

वृत्तः x²+y²-2x-6y-6=0
⇒2g=-2 ,2f=-6,c=-6
⇒g=-1,f=-3

त्रिज्या$=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2-(-6)}$
$=\sqrt{1+9+6}=\sqrt{16}$
=4

वृत्तः x²+y²-4x-12y-9=0
⇒2g=-4,2f=-12,c=-9
⇒g=-2,f=-6

त्रिज्या$=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2-(-9)}$
$=\sqrt{4+36+9}=\sqrt{49}=7$

त्रिज्याएँ ,1,4,7

d=4-1=7-4=3

∴त्रिज्याएँ समांतर श्रेणी है ।

Question 6

निम्नलिखित तीन बिन्दुओ से गुजरते हुए वृत्त का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the circle passing through the following three points]
(0,0),(5,0) तथा(and) (3,3)
Sol :

माना वृत्त का केन्द्र O(?,ꞵ) है ।
जो वृत्त बिन्दु A(0,0) ,B(5,0) तथा C(3,3) से गुजरता है ।

⇒OA=OB+OC (वृत्त की त्रिज्याएँ)

⇒OA²=OB²

⇒?²+ꞵ²=(?-5)²+ꞵ²
⇒?²=?²-10?+25
⇒10?=25
⇒$\alpha =\frac{5}{2}$

⇒OA+OC
⇒OA²=OB²
⇒?²+ꞵ²=(?-ꞵ)²+(ꞵ-3)²

⇒?²+ꞵ²=?²-6?+9+ꞵ²-6ꞵ+9
⇒6?+6ꞵ=18
⇒?+ꞵ=3

⇒$\frac{5}{2}+\beta =3$
⇒$\beta=3-\frac{5}{2}$
⇒$\beta=\frac{1}{2}$

वृत्त का केन्द्र$\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)$

OA=त्रिज्या$=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$

$=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{1}{4}}$

$=\sqrt{\frac{26}{4}}=\sqrt{\frac{13}{2}}$

वृत्त का समीकरण
⇒$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2$

⇒$x^2-2.x.\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2+y^2-2.y.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{13}{2}$

⇒$x^2+y^2-5x-y+\frac{26}{4}=\frac{13}{2}$

⇒x²+y²-5x-y=0

Question 7

वृत्त x²+y²-4x+6y-3=0 के संकेन्द्रीय तथा इसके क्षेत्रफल का दुना क्षेत्रफल वाले वृत्त का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the circle which is concentric with the circle x²+y²-4x+6y-3=0 and having double of its area]
Sol :
⇒x²+y²-4x+6y-3=0
⇒2g=-4 ,2f=6, c=-3
⇒g=-2 ,f=3 ,c=-3

केन्द्रः (2,-3) ,

त्रिज्या$=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-3)}$
$=\sqrt{4+9+3}=\sqrt{16}$
=4

नये वृत्त का क्षेत्रफल =2×π(4)²
πr²=2×π×16
r²=32

वृत्त का समीकरण
⇒(x-2)²+(y+3)²=32
⇒x²-2.x.2+2²+y²+2.y.3+3²-32=0
⇒x²+y²-4x+6y-19=0

Question 8

वृत्त x²+y²-4x-6y-9=0 के संकेन्द्रीय तथा बिन्दु (-4,-5) से जाते हुए वृत्त का समीकरण निकाले।
[Find the equation of the circle concentric with the circle x²+y²-4x-6y-9=0 and passing through the point (-4,-5)]

Sol :

⇒x²+y²-4x+6y-9=0

⇒2g=-4 ,2f=-6, c=-5

⇒g=-2,f=-3

केन्द्र(2,3)

$OA=\sqrt{(-4-2)^2+(-5-3)^2}$

$=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

उस वृत्त का समीकरण जिसका केन्द्र (2,3) है तथा त्रिज्या 10 है।

⇒x²-2.x.2+2²+y²-2.y.3+3²=10²

⇒x²+y²-4x-6y+4+9-100=0
⇒x²+y²-4x-6y-87=0

Question 9

उस वृत्त का समीकरण निकाले जिसका केन्द्र रेखाओ x-y=4 तथा 2x+3y=-7 का प्रतिच्छेद बिन्दु है तथा जो बिन्दु (1,-1) से जाती है ।
[Find the equation of the circle passing through the points (1,-1) and having centre at the intersection of the lines x-y=4 and 2x+3y=-7]
Sol :

दो रेखाओ का प्रतिच्छेद बिन्दु केन्द्र होगा ।

x-y=4..(i)×3

2x+3y=-7..(ii)×1

$\begin{aligned}3x-3y=&12\\2x+3y=&-7\\ \hline 5x=&5\end{aligned}$
x=1 ,

y=-3

$OA=\sqrt{(1-1)^2+(-3+1)^2}$
$=\sqrt{(-2)^2}=2$

उस वृत्त का समीकरण जिसका केन्द्र (1,-3) है तथा त्रिज्या 2 इकाई है ।

⇒x²-2.x.1+1²+y²+2.y.3+3²-2²=0

⇒x²+y²-2x+6y+1+9-4=0

Question 10

(i) बिन्दुओ (0,-1) तथा (2,0) से जाते हुए वृत्त का समीकरण निकाले जिसका केन्द्र रेखा 3x+y=5 पर है ।
[Find the equation of the circle passing through the points (0,-1) and (2,0) and whose centre lies on the line 3x+y=5]
Sol :

माना वृत्त का केन्द्र (?,ꞵ) है जो रेखा 3x+y=5 से गुजर रहा है ।

3?+ꞵ=5..(i)

माना वृत्त बिन्दु A(0,-1) तथा (2,0) से गुजर रहा है ।
OA=OB

दोनो तरफ वर्ग करने पर,
⇒(?-0)²+(ꞵ+1)²=(?-2)²+(ꞵ-0)²
⇒?²+ꞵ²+2ꞵ+1=?²-4?+4+ꞵ²
⇒4?+2ꞵ=3..(ii)×1

समीकरण (i) तथा (ii)से ,
⇒$\begin{aligned}6\alpha+2\beta=&10\\4\alpha+2\beta=&3\\ \hline 2\alpha=7\end{aligned}$
⇒$\alpha=\frac{7}{2}$

समीकरण (i) से ,
⇒3?+ꞵ=5
⇒$3\left(\frac{7}{2}\right)+\beta=5$
⇒$\frac{21}{2}+\beta =5$
⇒$\beta=5-\frac{21}{2}$
⇒$\beta =\frac{10-21}{2}=-\frac{11}{2}$

⇒त्रिज्या=OA$=\sqrt{\left(\frac{7}{2}-0\right)^2+\left(-\frac{11}{2}+1\right)^2}$
$=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{81}{4}}$
$=\sqrt{\frac{45+81}{4}}=\sqrt{\frac{130}{4}}$

वृत्त का समीकरण जिसका केन्द्र $\left(\frac{7}{2},\frac{-11}{2}\right)$ है तथा त्रिज्या $\sqrt{\frac{130}{4}}$ है ।

⇒$\left(x-\frac{7}{2}\right)^2+\left(y+\frac{11}{2}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{130}{4}}\right)^2$

⇒$x^2-2.x.\frac{7}{2}+\left(\frac{7}{2}\right)^2+y^2+2.y.\frac{11}{2}+\left(\frac{11}{2}\right)^2-\frac{130}{4}=0$

⇒$x^2+y^2-7x+11y+\frac{40}{4}=0$

⇒x²+y²-7x+11y+10=0

Question 11

जाँच करे कि निम्नलिखित समीकरण एक वृत्त निरूपित करता है या नही
[Determine whether the following equations represent a circle or not]

(i) 3x²-3y²+4x-6y+10=0
Sol :
y² का गुणांक ऋणात्मक नही हो सकता है।

अतः 3x²-3y²+4x-6y+10=0 वृत्त नही निरुपित करता है ।

(ii) 5x²+5y²+2xy+4x-y+2=0
Sol :
5 से भाग देने पर,

⇒x²-3y²+$\frac{4}{5}$x-$\frac{8}{5}$y-$\frac{16}{5}$=0

⇒$2g=\frac{4}{5}$, $2f=\frac{-8}{5}$, $c=-\frac{16}{5}$

⇒$g=\frac{2}{5}$ ,$f=\frac{-4}{5}$ ,$c=-\frac{16}{5}$

त्रिज्या$=\sqrt{g^2+f^2-c}$
$=\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^2+\left(-\frac{4}{5}\right)^2-\left(-\frac{16}{5}\right)}\in R$

$=\sqrt{\frac{4}{5}+\frac{16}{5}+\frac{16}{5}}$

$=\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}\in R$

समीकरण वृत्त को निरुपित करता है ।

(iii) 5x²+5y²+4x-8y-16=0
Sol :

(iv) x²+y²+6x-8y+50=0
Sol :
⇒2g=6, 2f=-8, c=50
⇒g=3 ,f=-4

त्रिज्या$=\sqrt{g^2+f^2-c}$
$=\sqrt{3^2+(-4)^2-50}$
$=\sqrt{9+16-50}=\sqrt{-25}\notin R$

∴समीकरण x²+y²+6x-8y+50=0 वृत्त को निरुपित करता है ।

Question 12

जाँच करे कि निम्नलिखित समीकरण एक वृत्त या एक बिन्दु निरुपित करता है या कोई वृत्त नही निरुपित करता है ।
[Determine whether the following equations represent a circle , a point or no circle]

(i) x²+y²+x-y=0
Sol :
⇒2g=1, 2f=-1, c=0

⇒$g=\frac{1}{2}$ , $f=-\frac{1}{2}$

केन्द्र $=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

त्रिज्या $=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2-0}$

$=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$

$=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\in R$

अतः x²+y²+x-y=0 वृत्त का समीकरण है ।

(ii) x²+y²-6x-8y+25=0
Sol :
⇒2g=-6, 2f=-8
⇒g=-3, f=-4

केन्द्र (3,4)

त्रिज्या $=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2-25}$
$=\sqrt{9+16-25}$
=0

बिन्दु:(3,4)

(iii) x²+y²+2x+10y+26=0
Sol :

(iv) 2x²+2y²-24x+8y+120=0
Sol :
2 से भाग देने पर,

⇒x²+y²-12x+4y+60=0

⇒2g=-12 ,2f=4 ,c=60

केन्द्र (6,-2)

त्रिज्या $=\sqrt{(-6)^2+2^2-60}$
$=\sqrt{36+4-60}$
$=\sqrt{-20}\in R$

समीकरण x²+y²-12x+4y+60=0 वृत्त को निरुपित नही करता है ।