KC Sinha: Exercise 19.1 - Mathematics Solution Class 11 Chapter 19 वृत्त

[mathjax]

Question 2

(0,0) से होकर जाने वाली वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x तथा y-अक्षो पर a और b अन्तः खण्ड काटता है ।
[Find the equation of the circle passing through (0,0) nad cutting intercepts a and b on the x and y axes respectively]
Sol :

हम जानते है कि वृत्त का व्यास वृत्त पर समकोण बनाता है ।

अतः अन्तः खण्ड A(a,0) तथा B(0,b) को मिलाने वाली रेखा AB वृत्त का व्यास है । माना Q वृत्त का केन्द्र है ।

Q का निर्देशांक$=\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)$
$=\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)$

माना P(x.,y) वृत्त पर स्थित एक बिन्दु है ।

PQ=AQ=PQ²=AQ²(त्रिज्याएँ)

$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\left(y-\frac{b}{2}\right)^2=\left(a-\frac{a}{2}\right)^2+\left(0-\frac{b}{2}\right)^2$

$x^2-2.x.\frac{a}{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^2+y^2-2.y.\frac{b}{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^2$

$=\left(\frac{a}{2}\right)^2 \left(\frac{b}{2}\right)^2$

x²+y²-ax-by=0

Question 4

वृत्त का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the circle]

(i) जो x-अक्ष को सर्पश करे तथा जिसका केन्द्र(4,3) पर है ।
[Touching x-axis and having centre at (4,3)]
Sol :

माना O(2,2) वृत्त का केन्द्र है ।

Q(4,5) वृत्त पर स्थित बिन्दु है ।

r=$OQ=\sqrt{(4-2)^2+(5-2)^2}$
$=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

वृत्त का समीकरण
(x-2)²+(y-2)²=(√13)²

Question 7

वृत्त (x-1)²+(y+2)²=5² का x-अक्ष मे प्रतिबिम्ब का समीकरण निकाले ।

[Find the equation of image of the circle (x-1)²+(y+2)²=5²]

Sol :

वृत्त का समीकरण

(x-1)²+(y+2)²=5²

∵वृत्त का केन्द्र (1,-2) है।

तो x-अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब वृत्त का केन्द्र(1,2) होगा ।

त्रिज्या=5

वृत्त का समीकरण

Question 8

बिन्दु (2,4) से जाते हुए वृत्त का समीकरण निकाले जिसका केन्द्र रेखाओ x-y=4 तथा 2x+3y=-7 के प्रतिच्छेद बिन्दु पर है ।

[Find the equation of the circle passing through the point (2,4) and centre at the point of intersection of line x-y=4 and 2x+3y=-7]
Sol :

दो रेखाओ का प्रतिच्छेद बिन्दु 

x-y=4..(i)×3

2x-3y=-7..(ii)×1

$\begin{aligned}3x-3y=&12\\ 2x+3y=&-7\\ \hline 5x=5\end{aligned}$

x=1

y=-3

...

Question 9

यदि एक वृत्त के दो व्यासो के समीकरण 2x+y=6 तथा 3x+2y=4 है तथा त्रिज्या है , तो वृत्त का समीकरण निकाले।
[If the equation of two diameters of a circle are 2x+y=6 and 3x+2y=4 and the radius is 10, find the equation of the circle]

Sol :

2x+y=6..(i)×2

$\begin{aligned}4x+2y=&12\\3x+2y=&4\\ \hline x=8\end{aligned}$

y=-10

वृत्त का समीकरण जिसका केन्द्र (8,-10) है तथा त्रिज्या 10 है ।

(x-8)²+(y+10)²=10²

Question 10

वृत्त का समीकरण निकाले जो 3x-2y-1=0 तथा 4x+y-27=0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाता है तथा जिसका केन्द्र (2,3) है ।
[Find the equation to the circle which passes through the point of intersection 3x-2y-1=0 and 4x+y-27=0 and whose centre is (2,3)]

Sol :

Question 12

वृत्त x²+y²-4x-6y=8 के केन्द्र से जाते हुए तथा वृत्त x²+y²-2x-8y=5 के संकेन्द्रीय वृत्त का समीकरण निकाले।
[Find the equation of the circle passing through the centre of the circle x²+y²-4x-6y=8 and being concentric with the circle x²+y²-2x-8y=5]

Sol :

माना A तथा B क्रमशः दिए गए वृत्तो के केन्द्र है ।

पहले वृत्त का समीकरण
⇒x²+y²-4x-6y=8
⇒x²-2.2x+2²+y²-2.y.3+3²=8+2²+3²
⇒(x-2)²+(y-3)²=8+4+9
⇒(x-2)²+(y-3)²=(√21)²

वृत्त के केन्द्र=A का नियांमक =(2,3)

दूसरे वृत्त का समीकरण x²+y²-2x-8y=5

⇒x²-2.x.1+1²+y²-2.y.4+4²=5+1²+4²

⇒(x-1)²+(y-4)²=5+1+16

⇒(x-1)²+(y-4)²=(√22)²

वृत्त का केन्द्र=B का नियामक=(1,4)

$AB=\sqrt{(2-1)^2+(3-4)^2}$

$=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

वृत्त का समीकरण

(x-1)²+(y-4)²=(√2)²

Question 13

x+3y=0 तथा 2x-7y=0 के कटान बिन्दु से जाते हुए वृत्त का समीकरण निकाले जिसका केन्द्र रेखाओ x+y+1=0 तथा x-2y+4=0 का प्रतिच्छेद बिन्दु है ।
[Find the equation of the circle passing through the point of intersection of x+3y=0 and 2x-7y=0 and whose centre is the point of intersection of lines x+y+1=0 and x-2y+4=0]

Sol :

माना x+3y=0 तथा 2x-7y=0 का कटान बिन्दु A है ।

और x+y+1=0 तथा x-2y+4=0 का कटान बिन्दु B है ।

Question 14

वृत का समीकरण निकाले जिसका केन्द्र (1,-3) है तथा जो रेखा 2x-y-4=0 को स्पर्श करता है ।
[Find the equation of the circle whose centre is (1,-3) and which touches the line 2x-y-4=0]
Sol :
हम जानते है कि वृत्त के बिन्दु के केन्द्र से स्पर्श रेखा खिची गई त्रिज्या लम्ब होती है ।

OC⟂AB

OC=त्रिज्या$=\left|\frac{2\times 1-(-3)-4}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\right|$

$=\left|\frac{2+3-4}{\sqrt{4+1}}\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{5}}\right|$

वृत्त का समीकरण 

(x-1)²+(y+3)²=$\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$

Question 15

5 त्रिज्या के वृत्त का समीकरण निकाले जिसका केन्द्र y-अक्ष पर है तथा जो बिन्दु (3,2) से जाती है।
[Find the equation of the circle of radius 5 whose cemtre lies on y-axis and which passes through the point (3,2)]
Sol :

माना वृत्त का केन्द्र O(0,ꞵ) है ।

माना वृत्त P(3,2) से गुजर रहा है ।

OP=5
OP²=5²

⇒(3-0)²+(2-ꞵ)²=5²

⇒3²+2²-2.2.ꞵ+ꞵ²=5²
⇒9+4-4ꞵ+ꞵ²-25=0
⇒ꞵ²-4ꞵ-12=0
⇒ꞵ²-6ꞵ+2ꞵ-12=0
⇒ꞵ(ꞵ-6)+2(ꞵ-6)=0

⇒(ꞵ-6)(ꞵ+2)=0

⇒$\begin{array}{l|l}\beta -6=0& \beta +2=0\\\beta =6& \beta =-2\end{array}$

CASE-I
वृत्त का समीकरण केन्द्र (0,6) है ।
तथा त्रिज्या 5 इकाई है ।

(x-0)²+(y-6)²=5²

Question 16

वृत्त का समीकरण निकाले जिसकी त्रिज्या 5 है तथा जिसका केन्द्र x-अक्ष की धन दिशा पर मूल बिन्दु से 5 की दूरी पर है ।
[Find the equation of the circle whose radius is 5 and the centre lies on the positive side of x-axis at a distance 5 from the origin]
Sol :

माना P(x,y) वृत्त पर स्थित बिन्दु है ।

वृत्त का केन्द्र A(5,0) है ।

(x-5)²+(y-0)²=5²

x²-2.x.5+5²+y²=5²

x²+y²-10x=0

Question 17

बिन्दुओ (-1,2) तथा (3,-2) से जाते हुए वृत्त का समीकरण निकाले जिसका केन्द्र रेखा x-2y=0 पर है ।
[Find the equation of the circle passing through the points (-1,2) and (3,-2) and whose centre lies on the line x-2y=0]
Sol :

माना वृत्त का केन्द्र (?,ꞵ) है ।

∵रेखा x-2y=0 पर 0(?,ꞵ) स्थित है ।
?-2ꞵ=0..(i)

⇒OA=OB(वृत्त की त्रिज्याएँ)
⇒OA²=OB²
⇒(?+1)²+(ꞵ-2)²=(?-3)²+(ꞵ+2)²
⇒?²+2?+1+ꞵ²-4ꞵ+4=?²-6?+5+ꞵ²+4ꞵ+4
⇒2?+6?-4ꞵ-4ꞵ=8
⇒8?-8ꞵ=8
⇒?-ꞵ=8
⇒2ꞵ-ꞵ=1 (समीकरण (i) से)
⇒ꞵ=1
⇒?=2(1)=2

$OA=\sqrt{(2+1)^2+(1-2)^2}$
$=\sqrt{3^2+(-1)^2}$
$=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

वृत्त का समीकरण
⇒(x-2)²+(y-1)²=(√10)²
⇒x²-4x+4+y²-2y+1=10
⇒x²+y²-4x-2y-5=0

Question 21

वृत्त का समीकरण निकाले जो y-अक्ष को मूल बिन्दु से 4 की दूरी पर स्पर्श करता है तथा x-अक्ष पर 6 की लम्बाई का अन्तः खण्ड काटता है ।
[Find the equation of the circle which touches the axis of y at a distance 4 from the origin and cuts off an intercept of length 6 on the axis of x]
Sol :

माना O तथा O' केन्द्र वाले दो वृत्त है, जो y-अक्ष को मूलबिन्दु से 4 की दूरी पर स्पर्श करते है ।

AB=6cm

$AD=\frac{1}{2}AB$
$=\frac{1}{2}\times 6$
=3 cm

$OA=\sqrt{AO^2+OD^2}$
$=\sqrt{3^2+4^2}$
$=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$
=5

OP=OA=5

वृत्त का समीकरण जिसका केन्द्र (5,4) तथा (5,-4) है त्रिज्या 5 इकाई है ।

⇒(x-5)²+(y∓4)²=5²

केन्द्र (0,0) , त्रिज्या=5

मूल बिन्दु से बिन्द्र (-2.5,3.5) की दूरी$=\sqrt{(-2.5)^2+(3.5)^2}$

$=\sqrt{6.25+12.25}=\sqrt{18.5}$<5

अतः (-2.5,3.5) वृत के अंदर स्थित है ।

Question 22

क्या बिन्दु (-2.5 , 3.5) वृत्त $x^{2}+y^{2}=25$ के अन्दर, बाहर या वृत्त पर है ?
Sol :

$x^{2}+y^{2}=25$

मूल बिन्दु से बिन्दु (-2.5 , 3.5) की दूरी 

$=\sqrt{(-2.5)^{2}+(3.5)^{2}}$

=√6.25+12.25

=√18.5<5

अतः (-2.5 , 3.5) वृत्त के अंदर स्थित है।

Question 23

निम्नलिखित मे से प्रत्येक वृत्त का केन्द्र तथा त्रिज्या निकाले ।
[Find the centre and radius of each of the following circles]

(i) x²+y²-8x+10y-12=0
Sol :
⇒x²+y²-8x+10y-12=0
⇒x²+y²-8x+10y=12
⇒x²+2.x.4+4²+y²+2.y.5+5²=12+4²+5²
⇒(x-4)²+(y+5)²=12+16+25
⇒(x-4)²+(y-(-5))²=53
⇒(x-4)²+(y-(-5))²=(√53)²

केन्द्र (4,-5) ,त्रिज्या=√53

(ii) x²+y²+8x+10y-8=0
Sol :

(iii) 2x²+2y²-x=0
Sol :
⇒$\frac{2x^2}{2}+\frac{2y^2}{2}-\frac{x}{2}=0$ (2 से भाग देने पर)

⇒x²+y²-$\frac{x}{2}$=0

⇒$x^2-2.x.\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^2+y^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2$

⇒$\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+(y-0)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2$

केन्द्र$\left(\frac{1}{4},0\right)$ , त्रिज्या$=\frac{1}{4}$

(iv) x²+y²-4x-8y-45=0
Sol :

Question 24

निम्नलिखित वृत्तो मे से प्रत्येक का केन्द्र तथा त्रिज्या निकाले
[Find the centre and radius of each of the following circles]

(i) x²+(y-1)²=2
Sol
⇒(x-0)²+(y-1)²=(√2)²

केन्द्र(0,1) ,त्रिज्या=√2

(ii) $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{4}$
Sol :

(iii) x²+y²-2x+4y=8
Sol :
⇒x²-2x+1²+y²+2.y.2+2²=8+1²+2²
⇒(x-1)²+(y+2)²=8+1+4
⇒(x-1)²+(y-(-2))²=(√13)²

केन्द्र (1,-2) , त्रिज्या=√13

(iv) x²+y²-4x+6y=5