[mathjax]
Question 1
रेखाओ 2x-3y+8=0 तथा 4x+5y=6 का प्रतिच्छेद बिन्दु निकाले ।
[Find the point of intersection of the lines 2x-3y+8=0 and 4x+5y=6]
Sol :
2×(2x-3y+8=0)..(i)
1×(4x+5y=6)..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
$\begin{aligned}4x-6y=&-16\\4x+5y=&6\\ \hline -11y=&-22\end{aligned}$
y=2
y का मान समीरपण (i) मे रखने पर,
2x-3y=-8
2x-3(2)=-8
2x-6=-8
2x=-8+6
2x=-2
$x=-\frac{2}{2}$
x=-1
Question 3
m के किस मान के लिए रेखा mx+2y+5=0 रेखाओ x-4y=3 तथा x+2y=9 के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरती है ।
[For what value of m the line mx+2y+5=0 will pass through the point of intersection of the lines x-4y=3 and x+2y=9?]
Sol :
$\begin{aligned}x-4y=&3..(i)\\x+2y=&9..(ii)\\ \hline -6y=&-6\end{aligned}$
y=1
y का मान समीकरण (i) मे रखने पर
x-4y=3
x-4(1)=3
x=7
(7,1) से रेखा mx+2y+5=0 गुजरती है ।
m(7)+2(1)+5=0
7m=-7
m=-1
Question 4
(i) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाले जिसकी भुजाएँ y+2x=3 ,4y+x=5 तथा 5y+3x=0 है ।
[Find the area of the triangle whose sides are y+2x=3 ,4y+x=5 and 5y+3x=0]
Sol :
समीकरण (i) तथा (ii) से ,
1×(2x+y=3)..(i)
2×(x+4y=5)..(ii)
$\begin{aligned}2x+y=&3\\2x+8y=&10 \\ \hline -7y=&-7 \end{aligned}$
y=1
x=1
...
Question 5
किसी त्रिभुज की भुजाओ AB,BC तथा CA के समीकरण क्रमशः 5x-3y+2=0; x-3y-2=0 तथा x+y-6=0 है । शीर्ष A से BC पर लम्ब का समीकरण निकाले ।
[The three sides AB,BC and CA of a triangle are 5x-3y+2=0; x-3y-2=0 and x+y-6=0, respectively. Find the equation of the altitude through the vertex A]
Sol :
AB तथा AC के समीकरण से,
1×(5x-3y+2=0)..(i)
3×(x+y-6=0)..(ii)
$\begin{aligned}5x-3y+2=&0\\3x+3y-18=&0 \\hline 8x-11=&0\end{aligned}$
x=2
y=4
AD का समीकरण ;
-3x-y+k=0
समीकरण (2,4) से गुजर रहा है ।
-3(2)-4+k=0
-10+k=0
k=10
रेखा AD का समीकरण
-3x-y+10=0
3x+y-10=0
Question 6
y-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण निकाले जो निम्नलिखित रेका के युग्मो के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाती है ।
[Find the equation of the line parallel to the y-axis and drawn through the point of intersection of pair of lines]
(i) x-7y+5=0 and(तथा) 3x+y-7=0
Sol :
माना रेखा l y-अक्ष के समांतर है , तथा जो रेखा m तथा n के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाती है ।
3×(x-7y+5=0)..(i)
1×(3x+y-7=0)..(ii)
$\begin{aligned}3x-21y+15=&0\\3x+y-7=&0\\ \hline -22y+22=0\end{aligned}$
-22y=-22
y=1
x-7(1)+5=0
x=2
y-अक्ष के समांतर रेखा का ढाल$=\frac{1}{0}$
रेखा l का समीकरण
$y-1=\frac{1}{0}(x-2)$
0=x-2
Question 7
बिन्दु (-1,3) से रेखा 3x-4y-16=0 पर खीचे गए लम्ब के पाद का निर्देशांक निकाले ।
[Find the coordinates of the foot of perpendicular from a point (-1,3) to the line 3x-4y-16=0]
Sol :
3x-4y-16=0..(i)
माना रेखा CD, AB पर लंब है ।
CD का समीकरण
-4x-3y+k=0
रेखा (-1,3) से गुजर रही है ।
-4(-1)-3(3)+k=0
4-9+k=0
k=5
∴रेखा CD का समीकरण
-4x-3y+5=0
4x+3y-5=0..(ii)
Question 8
उस त्रिभुज के लम्ब केन्द्र का निर्देशांक निकाले जिसके शीर्ष (-1,3),(2,-1) तथा (0,0) है ।
[Find the co-ordinates of the orthocentre of the triangle whose vertices are (-1,3),(2,-1) and (0,0)]
Sol :
माना ABC एक त्रिभुज है जिसके शिर्षो के निर्देशांक क्रमशः (-1,3),(2,-1) and(तथा) (0,0) है ।
AD+BC ,BE⟂AC,CF⟂AB
AD,BE तथा CF का प्रतिच्छेद बिन्दु है ।
BC का समीकरण
$y-(-1)=\frac{0-(-1)}{0-2}(x-2)$
$y+1=\frac{1}{-2}(x-2)$
-2y-2=x-2
x+2y=0
AC का समीकरण
$y-0=\frac{3-0}{-1-0}(x-0)$
$y=\frac{3}{-1}x$
-y=3x
3x+y=0
BC पर लंब AD का समीकरण
रेखा AD(-1,3) से गुजर रहा है ।
2(-1)-3+k=0
k=5
∴रेखा AD का समीकरण
2x-y+5=0..(i)
AC पर लंब, BE का समीकरण
x-3y+k=0
रेखा BE,(2,-1) से गुजर रहा है ।
2-3(-1)+k=0
k=-5
∴रेखा BE का समीकरण
x-3y-5=0..(ii)×2
समीकरण (i) तथा (ii) से ,
$\begin{array}2x-y+5=&0\\2x-6y-10=&0 \\ \hline 5y+15=0\end{array}$
y=-3
2x-y+5=0
2x+3+5=0
2x+8=0
x=-4
लंब केन्द्र का निर्देशांक (-4,-3)
Question 9
उस त्रिभुज के अन्तः केन्द्र का निर्देशांक निकाले जिसकी भुजाँए x=3 , y=4 तथा 4x+3y=12 है । त्रिभुज को केन्द्रक भी निकाले ।
[Find the co-ordinates of the incentre of the triangle whose sides are x=3 , y=4 and 4x+3y=12. Also find the centeroid of the triangle .]
Sol :
माना ABC एक त्रिभुज है ।
जिसकी भुजाओ का समीकरण
AB:x=3
BC:y=4
AC:4x+3y=12
समीकरण (i) तथा (ii) से ,
y=4
=4x+3(4)=12
x=0
समीकरण (i) तथा (ii) से
x=3
4(3)+3y=12
y=0
...
Question 10
उस त्रिभुज का परिकेन्द्र निकाले जिसकी
[Find the circumcentre of the triangle whose]
(i) भुजाएँ 3x-y+3=0 , 3x+4y+3=0 तथा x+3y+11=0 है ।
[sides are 3x-y+3=0 , 3x+4y+3=0 and x+3y+11=0 है ।]
Sol :
Question 13
साबित केर कि निम्नलिखित रेखाएँ संगामी है । उनके प्रतिच्छेद बिन्दु निकाले ।
[Prove that the following lines are concurrent. Also, find their point of concurrency]
5x-3y=1 ,2x+3y=23, 42+21y=257
Sol :
5x-3y=1..(i)
2x+3y=23..(ii)
42+21y=257..(iii)
समीकरण (i) तथा (ii) से ,
$\begin{aligned}5x-3y=&11\\2x+3y=&23\\ \hline 7x=&24\end{aligned}$
$x=\frac{24}{7}$
x का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,
2x+3y=23
$2\left(\frac{24}{7}\right)+3y=23$
$\frac{48}{7}+3y=23$
$3y=23-\frac{48}{7}$
$3y=\frac{161-48}{7}$
$3y=\frac{113}{7}$
$y=\frac{113}{21}$
दोनो रेखाओ का प्रतिच्छेद बिन्दु $\left(\frac{24}{7},\frac{113}{21}\right)$
समीकरण (iii) मे रखने पर,
42x+21y=257
$42\left(\frac{24}{7}\right)+21\left(\frac{113}{21}\right)=257$
144+113=257
257=257
अतः तीनो रेखाएँ एक बिन्दु गामी है ।
Question 15
m का मान निकाले ताकि रेखाएँ y=x+1 , y=2(x+1) तथा y=mx+3 एक बिन्दुगामी हो।
[Find the value of m so that the straight lines y=x+1 ,y=2(x+1) and y=mx+3 are concurrent]
Sol :
y=x+1..(i)
y=2(x+1)..(ii)
y=mx+3..(iii)
समीकरण (i) तथा (ii) मे,
2x+2=x+1
x=-1
x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
y=-1+1
=0
∵रेखा एक बिन्दुगामी है ,
∴0=m(-1)+3
-m+3=0
m=3
Question 16
m का मान निकाले ताकि निम्नलिखित रेखाएँ y-अक्ष पर एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करे ।
[Find the value of m for which the following lines intersect at a point on the y-axis]
mx+(2m+3)y+m+6=0 तथा (2m+1)x+(m-1)y+(m-9)=0
Sol :
(m-1)×[mx+(2m+3)y+m+6=0]..(i)
(2m+3)×[(2m+1)x+(m-1)y+(m-9)=0]..(ii)
$\begin{aligned}m(m-1)x+(2m+3)(m-1)y+(m+6)(m-1)=&0\\(2m-1)(2m+3)x+(2m+3)(m-1y+(m-9)(2x+3)=&0\\ \hline [m^2-m-4m^2-6m-2m-3]x+[m^2-m+6m-6-2m^2-3m+18m+27]=&0\end{aligned}$
(-3m2-9n-3)x+(-m2+20m+21)=0
$x=\frac{m^2-20m-21}{-3m^2-9n-3}$
∵रेखाएँ y-अक्ष पर प्रतिच्छेद करती है ।
∴x=0
$\frac{m^2-20m-21}{-3m^2-9m-3}=0$
m2-20m-21=0
m2-21m+m-21=0
m(m-21)+1(m-21)
(m-21)(m+1)=0
m=-1 ,21