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Question 1
किसी अनुक्रम के n पदो का जोड़ 2n2+4 है तो इसका n वाँ पद निकालिए । क्या यह अनुक्रम A.P मे है?
Sol :
Sn=2n2+4
Sn+1=2(n-1)2+4
=2(n2-2n+12)2+4
=2n2-4n+2+4
Sn+1=2n2-4n+6
an=Sn-Sn-1
=(2n2+4)-(2n2-4n+6)
=2n2+4-2n2-4n+6
an=4n-2
=6-2=4
या a3-a2
=10-6=4
∴अनुक्रम A.P मे है ।
Question 2
किसी श्रेणी के n पदो का योगफल ज्ञात कीजिए यदि उसका n वाँ पद n(n-1)(n+1) हो।
Sol :
an=n(n-1)(n+1)
an=n3-n
∑an=∑(n3-n)
=∑n3-∑n
$=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\frac{n(n+1)}{2}$
$=\frac{n(n+1)}{2}[\frac{n(n+1)}{2}-1]$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n^2+n-2}{2}\right]$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n^2+2n-n-2}{2}\right]$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+2)-1(n+2)}{2}\right]$
$=\frac{n(n+1)}{2}\times \frac{(n+2)(n-1)}{2}$
∑an या $S_n=\frac{1}{4}n(n^2-1)(n+2)$
Question 3
किसी series के 80 पदो का योगफल ज्ञात कीजिए यदि उसका n वाँ पद n(n2+1) हो ।
Sol :
an=n(n2+1)
$=\frac{1}{4}n(n^2-1)(n+2)$
$S_{80}=\frac{1}{4}\times 80 (80^2-1)(80+2)$
=20(6400-1)(82)
=20×6399×82
=10494360
Question 4
निम्नाकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the sum of the following series]
13+33+53+… to n terms
Sol :
दिये गये श्रेणी के पद A.P मे नही है।
लेकिन घन हटाने पर,
1,3,5… सभी पद A.P मे है।
वर्ग हटाने के बाद श्रेणी का n वाँ पद
tn =1+(n-1)2
=1+2n-2
tn =2n-1
∴दी गई श्रेणी का nवाँ पद
an=(2n-1)3
=(2n)3-3(2n)2.1+3.2n.12-13
an=8n3-12n2+6n-1
=∑(8n3-12n2+6n-1)
=8∑n3-12∑n2+6∑n-∑1
$=8\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-12\times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6n(n+1)}{2}-n$
$=8\left[\frac{n^2(n+2)^2}{4}\right]$-2n(2n2+n+2n+1)+3n(n+1)-n
=n[2n(n2+n+2.n.1+12)-2(2n2+3n+1)+3(n+1)-1]
=n[2n3+4n2+2n-4n2-6n-2+3n+3-1]
=n[2n3-n-3+3]
Sn=n2(2n2-1)
Question 5
निम्नाकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the sum of the following series]
12+42+72+102… to n terms
Sol :
दी गई श्रेणी का n वाँ पद
an=[1+(n-1)3]2
an=[1+3n-3]2
an=(3n-2)2
an=(3n)2-2.3n.2+22
an=9n2-12n+4
Sn=∑an
=∑(9n2-12n+4)
=9∑n2-12∑n+∑4
$=9\times \frac{n(n+1)(n+2)}{6}-12\times \frac{n(n+1)}{2}+4n$
$=n\left[\frac{3(2n^2+n+2n+1)}{2}-6(n+1)+4\right]$
$=n\left[\frac{3(2n^2+3n+1)-12(n+1)+8}{2}\right]$
$=\frac{1}{2}n$[6n2+9n+3-12n-12+8]
Sn$=\frac{1}{2}n$[6n2-3n-1]
Question 6
निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the sum of the following series]
12-2+32+4+52+6…to 2n terms
Sol :
=(12-2+32+4+52+6…to n terms)+(2+4+6+….n terms)
दी गई श्रेणी का n वाँ पद
an=[1+(n-1)2]2+[2+(n-1)2]
=[1+2n-2]2+[2+2n-2]
an=(2n-1)2+2n
an=(2n)2-2.2n.1+12+2n
an=4n2-2n+1
Sn=∑an
=∑(4n2-2n+1)
=4∑n2-2∑n+∑1
$=4\times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\times \frac{n(n+1)}{2}+n$
$=n\left[\frac{2}{3}(2n^2+n+2n+1)-(n+1)+1\right]$
$=n\left[\frac{2(2n^2+3n+1)-3(n+1)+3}{3}\right]$
$=\frac{1}{3}n$[4n2+6n+2-3n-3+3]
$S_n=\frac{1}{3}n$[4n2+3n+2]
Question 7
निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
12-22+32-42+…to n terms
Sol :
CASE-I
जब n एक सम संख्या है।
12-22+32-42+52-62+…+(n-1)2-n2
=(12-22)+(32-42)+(52-62)+…+[(n-1)2-n2]
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+…+(n-1-n)(n-1+n)
=-(1+2)-(3+4)-(5+6)+…[(n-1)+n]
=-[1+2+3+4+5+6+…(n-1)+n]
$=-\frac{n(n+1)}{2}$
CASE-II
जब n एक विषय संख्या हो
12-22+32-42+52-62+…+(n-1)2-n2
=(12-22)+(32-42)+(52-62)+…+[(n-1)2-n2]
=(1+2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+…+[(n-2-n+1)(n-2+n-1)]+n2
=-(1+2)-(3+4)-(5+6)…[(n-2)+(n)]+n2
=-[1+2+3+4+5+6+…+(n-2)+(n-1)]+n2
$=-\frac{(n-1)}{2}$[1+n-1]+n2
$=-\frac{n}{2}(n-1)+n^2$
$=-n\left[\frac{1}{2}(n-1)-n\right]$
$=-n\left[\frac{n-1-2n}{2}(2)-n\right]$
$=-n\left[\frac{-n-1}{2}\right]=\frac{n(n+1)}{2}$
Question 8
निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
3.8+6.11+9.14+…to n terms
Sol :
3,6,9…to n terms A.P मे है।
8,11,14,… to n terms A.P मे है।
दी गई श्रेणी n वाँ पद
an=[3+(n-1)3][8+(n-1)3]
=[3+3n-3][8+3n-3]
=3n(3n+5)
=9n2+15n
Sn=∑an
=∑9n2+15n
=9∑n2+15∑n
$=9\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+15.\frac{n(n+1)}{2}$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[3(2n+1)+15\right]$
$=\frac{n(n+1)}{2}$[6n+3+15]
Sn=$\frac{6n(n+1)(n+3)}{2}$
=3n(n+1)(n+3)
Question 11
(ii) दिखाये कि[Show that]
$\frac{1\times 2^2+2\times 3^2+…+n\times (n+1)^2}{1^1\times 2+2^2\times 3+…+n^2\times (n+1)}=\frac{3n+5}{3n+1}$
Sol :
श्रेणीः 1×22+2×32+…n×(n+1)2
दी गई श्रेणी का n वाँ पद
an=n(n+1)2
=n(n2+2n+1)
an=n3+2n2+n
Sn=∑an
=∑(n3+2n2+n)
=∑n3+2∑n2+n
$=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(2n+1)}{3}+1\right]$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3n^2+3n+8n+4+6}{6}\right]$
$=\frac{n(n+1)[3n^2+11n+10]}{12}$
$=\frac{n(n+1)[3n^2+6n+5n+10]}{12}$
$=\frac{n(n+1)[3n(n+2)+5(n+2)]}{12}$
$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$
∴1×22+2×32+…n×(n+1)2$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$…(i)
श्रेणीः 12×2+22×3+…n2(n+1)
n वाँ पद, an=n2(n+1)
Sn=∑(n3+n2)
=∑n3+∑n2
$=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2n+1}{3}\right]$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3n^2+3n+4n+2}{6}\right]$
$=\frac{n(n+1)[3n^2+7n+2]}{12}$
$=\frac{n(n+1)[3n^2+7n+2]}{12}$
$=\frac{n(n+1)[3n^2+6n+n+2]}{12}$
$=\frac{n(n+1)[3n(n+2)+1(n+2)]}{12}$
$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$
∴1×22+2×32+…n2(n+1)$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$…(ii)
समीकरण (i) मे (ii) से भाग देने पर,
$\frac{1\times 2^2+2\times 3^2+…n\times (n+1)^2}{1^2\times 2+2^2\times 3…n^2\times (n+1)}=\dfrac{\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}}{\frac{n(n+5)(n+2)(3n+1)}{12}}$
$=\frac{3n+5}{3n+1}$
Question 12
निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल कीजिए
[Find the sum of the following series]
1+(1+3)+(1+3+5)+…n terms
Sol :
दी गई श्रेणी का n वाँ पद
an=1+3+5+7+…+n पदो तक
an=$\frac{n}{2}$[2×1+(n-1)2]
$=\frac{n}{2}$[2+2n-2]
$=\frac{n}{2}\times 2n$
an=n2
Sn=∑an=an$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Question 13
निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
12+(12+22)+(12+22+32)+…to n terms
Sol :
दी गई श्रेणी का n वाँ पद
an=12+22+32+…n2
an=$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$=\frac{1}{6}$n(2n2+n+3n+1)
$=\frac{1}{6}$n(2n2+3n+1)
an=$\frac{1}{6}$(2n3+3n2+n)
Sn=∑an
$=\sum \frac{1}{6}$(2n3+3n2+n)
$=\frac{1}{6}$∑(2n3+3n2+n)
$=\frac{1}{6}$[2∑n3+3∑n2+∑n]
$=\frac{1}{6}\left[2\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2+\frac{3n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right]$
$=\frac{1}{6}\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n(n+1)}{2}+2n+1+1\right]$
$=\frac{1}{12}$n(n+1)[n2+2+2n+2]
$=\frac{1}{12}$n(n+1)[n(n+1)+2(n+1)]
$=\frac{1}{12}$n(n+1)(n+1)(n+2)
Sn=$=\frac{1}{12}$n(n+1)2(n+2)
Question 14
निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
1.2.3+2.3.5.+3.4.7+…to n terms
Sol :
1,2,3…n terms A.P मे है।
2,3,4…n terms A.P मे है।
3,5,7…n terms A.P मे है।
दी गई श्रेणी का n वाँ पद
an=[1+(n-1)1][2+(n-1)1][3+(n-1)2]
=[1+n-1][2+n-1][3+2n-2] an=n(n+1)(2n+1)
an=n(2n2+n+2n+1)
an=n(2n2+3n+1)
an=2n3+3n2+1n
Sn=∑an=∑(2n3+3n2+n)
Question 17
निम्नांकित श्रेणियो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
(n2-1)+2(n2-22)+3(n2-32)+…to n terms
Sol :
=1.n2-1.12+2.n2+3n2-3.32+… to n terms
=n2(1+2+3+…n terms)-13-23-33… to n terms
=n2(1+2+3+…n terms)-(13+23+33… to n terms)
$=\frac{n^2.n(n+1)}{2}-\left[\frac{2(n+1)}{2}\right]^2$
$=\frac{n^2(n+1)}{2}\left[\frac{2n-n+1}{2}\right]$
$=\frac{1}{4}n^2(n+1)(n-1)$
$=\frac{1}{4}n^2(n^2-1^2)$
$=\frac{1}{4}n^2(n^2-1)$
Question 18
निम्नांकित श्रेणियो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
12+(12+22)+(12+22+32)+…to 10 terms
Sol :
Sn$=\frac{1}{2}$n(n+1)2(n+2)
n=10,
S10=$\frac{1}{12}$×10(10+1)2(10+2)
$=\frac{1}{12}$×10×121×12
=1210
Question 20
निम्नांकित श्रेणियो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
$1++\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+$…..to n terms
Sol :
दी गई श्रेणी का n वाँ पद
an$=\frac{1}{1+2+3+…n}$
$=\dfrac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$
an=$\frac{2}{n(n+1)}$
माना $\frac{2}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$
$\frac{2}{n(n+1)}=\frac{A(n+1)+Bn}{n(n+1)}$
A=2, B=-2
2=An+A+Bn
2=(A+B)n+A
n के गुणांक तथा अचर को अलग अलग करने पर
∴A+B=0, A=2
2+B=0
B=-2
∵$a_n=\frac{2}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$
$a_n=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$
n=1 पर,
$a_1=\frac{2}{1}-\frac{2}{2}$
n=2 पर,
$a_2=\frac{2}{2}-\frac{2}{3}$
n=3 पर,
$a_3=\frac{2}{3}-\frac{2}{4}$
….
….
….
n के जगह n-1 , $a_{n-1}=\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n}$
n $a_n=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$
जोड़ने पर,
$S_n=\frac{2}{1}-\frac{2}{n+1}$
$=\frac{2(n+1)-2}{n+1}$
$=\frac{2n+2-2}{n+1}=\frac{2n}{n+1}$
Question 22
निम्नांकित श्रेणी का n वाँ पदो तक का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the n th term and sum to n terms of the following series]2+6+12+20+…
Sol :
$\begin{aligned}S_n&=2+6+12+20+…t_{n-1}+t_n\\S_n&=\phantom{2+}2+6+12+20+…+t_{n-1}+t_{n}\\ -\phantom{S_n}&=\phantom{2}-\phantom{2}-\phantom{6}-\phantom{12}-\phantom{20}…-\phantom{t_{n-1}}-\phantom{t_{n}}\\ \hline 0&=2+4+6+8+…t_{n}\end{aligned}$
tn=2+4+6+8+…n terms
$t_n=\frac{n}{2}$[2×2+(n-1)2]
$=\frac{n}{2}$[4+2n-2]
tn=$\frac{n}{2}$×2(n+1)
tn=n2+n
Sn=∑tn
=∑(n2+n)
$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n+1}{3}+1\right]$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n+1+3}{3}\right]$
$=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}$
$=\frac{2}{6}$n(n+1)(n+2)
$=\frac{1}{3}$n(n+1)(n+2)
Question 27
एक आदमी अप्रैल माह मे प्रथम दिन 1 ₹, दूसरे दिन 3 ₹,तीसरे दिन 6₹ तथा चौथे दिन 10 ₹ और इसी तरह वह पूरा महीना जमा करता है । 30 अप्रैल को कितना जमा करना होगा तथा अप्रैल मे कुल कितना जमा होगा ?
Sol :
माना वह आदमी n दिन पैसे जमा करता है।
माना
$\begin{aligned}S_n&=1+3+6+10+\dots +a_{n-1}+a_n\\S_n&=\phantom{1+}1+3+6+10+\dots a_{n-1}+a_{n}\\\phantom{S_n}&\phantom{1}-\phantom{1}-\phantom{3}-\phantom{6}-\phantom{10}\dots \phantom{a_{n-1}}-\phantom{a_{n}}\\ \hline 0&=1+2+3+4+\dots a_n\end{aligned}$
an=1+2+3+4+… n terms
an$=\frac{n(n+1)}{2}$
an$=\frac{1}{2}$[n2+n]
Sn=∑an
=∑$\frac{1}{2}$[n2+n]
$=\frac{1}{2}$[∑n2+∑n]
$=\frac{1}{2}\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right]$
$=\frac{1}{2}\times \frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n+1}{3}+1\right]$
$=\frac{1}{2}\times \frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n+1+3}{3}\right]$
$=\frac{n(n+1)}{4}\left[\frac{2n+4}{3}\right]$
$=\frac{1}{12}$n(n+1)2(n+2)
Sn$=\frac{1}{6}$n(n+1)(n+2)
an$=\frac{1}{2}$n(n+1)
30 वे दिन की जमा राशि $=\frac{1}{2}\times 30(30+1)$
=15×31
=465
30 दिनो मे कुल जमा राशि $=\frac{1}{6}\times 30(30+1)(30+2)$
=5×31×32
=4960
Question 28
कुछ आदमियो के बीच कुछ रूपये इस तरह बाँटे गये कि दूसरा आदमी पहले आदमी से 1 ₹ अधिक, तीसरा आदमी दूसरे आदमी से 2₹ अधिक और चौथा आदमी तीसरे आदमी से 3 ₹ अधिक इत्यादि पाता है। यदि पहला आदमी 1 ₹ और अंतिम आदमी 67 ₹ पाता हो तो आदमियो की संख्या बताइए।
Sol :
माना आदमियो की संख्या=n
an=67 ₹
अनुक्रमः 1,2,4,7…,67 (₹ मे)
$\begin{aligned}S_n&=1+2+4+7+\dots +a_{n}\\S_n&=\phantom{1+}1+2+4+7+\dots +a_{n-1}+a_n\\ -\phantom{S_n}-\phantom{1+}-\phantom{1}-\phantom{2}-\phantom{4}-\phantom{7}\dots -\phantom{a_{n-1}}-\phantom{a_n}\\ \hline 0&=1+1+2+3+\dots a_{n}\end{aligned}$
an=1+[1+2+3+….+(n+1) पदो तक]
an=1+$\frac{n+1}{2}$[2×1+(n-1-1)1]
67=1+$\frac{n-1}{2}$[2+n-2]
67=1+$\left(\frac{n-1}{2}\right)n$
66=$\frac{n^2-n}{2}$
132=n2-n
0=n2-n-132
या n2-n-132=0
n2-12n+11n-132=0
n(n-12)+11(n-12)=0
(n-12)(n+11)=0
$\begin{array}{l|l}n-12=0&n+11=0\\n=12&n=-11\end{array}$
∴आदमीयो की संख्या=12
Question 29
विषम प्राकृत संख्याओ को निम्न प्रकार समूहो मे बाँटा गया है
(1,3);(5,7,9,11);(13,15,17,19,21,23);….
दिखाइए कि n वे समूह के संख्याओ का योग 4n3 है।
Sol :
यहाँ प्रत्येक समूह की संख्याएँ A.P मे है।
जिनका सार्वअंतर 2 है।
अतः n वे समूह की संख्याएँ भी A.P मे होगी ।
जिनका सार्वअंतर 2 है।
पहले , दूसरे ,तीसरे…..समूह मे पदो की
संख्याएँ क्रमशः 2,4,6… है।
इस A.P का n वाँ पद=2+(n-1)2
=242n-2=2n
यहाँ समूह के पहले पद क्रमशः
1,5,13,25,… है।
यदि सभी समूहो के पहले पदो का योग S है और an,n वे समूह का पहला पद हो , तो
$\begin{aligned}S&=1+5+313+25+….a_n\\S&=\phantom{+1}1+5+13+15+…+a_{n-1}+a_{n}\\-\pahntom{S}&\phantom{1+}-\phantom{1}-\phantom{5}-\phantom{13}-\phantom{15}…\phantom{a_{n-1}}-\phantom{a_{n}}\\0&=1+4+8+12+…+a_{n}\end{aligned}$
an=1+[4+8+12+…(n-1) वे पद]
=1+$\frac{n-1}{2}$[2×4+(n-1-1)4]
an=1+$\frac{n-1}{2}$[8+(n-2)4]
an=1+$\frac{n-1}{2}$[8+4n-8]
an=1+$\frac{n-1}{2}$(4n)
an=1+(n-1)2n
an=2n2-2n+1
n के समूह का प्रथम पद=2n2-2n+1
n वे समूह के अवयवो की संख्या=2n
सार्वअंतर, d=2
n वे समूह के अवयवो का योग,
$S_n=\frac{2n}{2}$[2(2n2-2n+1)+(2n-1)2]
=n[4n2-4n+2+4n-2]
=4n3
TYPE-5 जब श्रेणी के क्रमागत पदो का अन्तर G.P मे हो
Question 31
निम्नलिखित श्रेणी के n पदो का जोड़ ज्ञात कीजिए
[Find the sum to n terms of the following series]
(i) 2+5+14+41+..
Sol :
माना,
$\begin{array}{l|l}S_n&=2+5+14+41+…+a_n\\S_n&=\phantom{2+}2+5+14+41+…a_{n-1}+a_n\\-\phantom{S_n}&\phantom{2}-\phantom{2}-\phantom{5}-\phantom{14}-\phantom{41}…\phantom{a_{n-1}}-\phantom{a_n}\\0&=2+3+9+27+…-a_n\end{array}$
an=2+[3+9+27+…(n-1) पदो तक]
$a_n=2+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}$
$=2+\frac{3}{2}(3^{n-1}-1)$
an=2+$\frac{3^n}{2}-\frac{3}{2}$
an=2-$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}3^n$
$=\frac{4-3}{2}+\frac{1}{2}3^n$
$a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}3^n$
Sn=∑an
=∑$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}3^n\right)$
=$\sum \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum 3^n$
$=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$[31+32+33+…+3n]
$=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}\times \frac{3(3^n-1)}{3-1}$
$=\frac{n}{2}+\frac{3}{4}(3^n-1)$