Contents
Question 1
नीचे दिए गए कथन सत्य है या असत्य ? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए ।
(i) प्रत्येक पूर्णं संख्या एक प्राकृत संख्या होती है ।
Sol :
असत्य, 0 एक प्राकृत संख्या नही है । 0 पूर्ण संख्या है ।
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होता है ।
Sol :
सत्य, $\frac{2}{1}$ परिमेय संख्या है ।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णाक होती है ।
Sol :
असत्य, $\frac{2}{3}$ परिमेय संख्या है लेकिन पूर्णांक नही है ।
(iv) यदि कोई परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ पूर्णांक है तो q=±1
Sol :
असत्य,$\frac{6}{2}=3$ एक पूर्णाक है । q=2
(v) यदि कोई परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ पूर्णांक नहीं है तो q=±1 नहीं हो सकता ।
Sol :
सत्य , $\frac{4}{3}$ पूर्णांक नहीं है । q=±1
Question 2
निम्नलिखित पूर्णांको को परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के रुप मे लिखे :
(i) 9
Sol : $9=\dfrac{9}{1}$
(ii) -13
Sol : $-13=\dfrac{-13}{1}$
(iii) 20
Sol : $20=\dfrac{20}{1}$
Question 3
(i) क्या $\frac{p}{q}$ परिमेय संख्या है यदि p=0 ?
Sol :
$\frac{0}{q}=0$ हाँ
(ii) क्या $\frac{p}{q}$ परिमेय संख्या है यदि q=0 ?
Sol :
$\frac{p}{q}=\frac{p}{0}=\infty$ नहीं
Question 4
रिक्त स्थानो को भरे:
(i) $\frac{7}{16}$ को दशमलव मे बदलने पर___दशमलव होगा ।
Sol : सांत
(ii) $\frac{3}{25}$ को दशमलव मे बदलने पर___दशमलव होगा ।
Sol : सांत
(iii) $\frac{7}{12}$ को दशमलव मे बदलने पर___दशमलव होगा ।
Sol : असांत
(iv) यदि परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के हर का रुढ़ गुणनखण्ड 2 और 5 हो तो $\frac{p}{q}$ को ____ दशमलव के रुप मे लिखा जा सकता है ।
Sol : सांत
Question 5
निम्नलिखित परिमेय संख्याओ को दशमलव रुप मे लिखने पर कौन-सा सांत दशमलव मे होगा ।
(i) $\dfrac{2}{11}$
(ii) $\dfrac{5}{9}$
(iii) $\dfrac{9}{16}$
(iv) $\dfrac{11}{30}$
Sol : (iii) $\frac{9}{2^4}$
Question 6
निम्नलिखित परिमेय संख्याओ को दशमलव रुप मे लिखने पर कौन-सा असांत दशमलव मे होगा ।
(i) $\dfrac{5}{9}$
(ii) $\dfrac{3}{8}$
(iii) $\dfrac{7}{25}$
(iv) $\dfrac{21}{20}$
Sol : (i)
Question 7
निम्नलिखित परिमेय संख्याओ मे कौन-कौन अवसानी दशमलव को निरुपित कर सकते है ?
(i) $\dfrac{3}{8}$
(ii) $\dfrac{23}{7}$
(iii) $\dfrac{27}{40}$
(iv) $\dfrac{27}{130}$
(v) $\dfrac{38}{35}$
(vi) $\dfrac{25}{128}$
(vii) $\dfrac{17}{138}$
(viii) $\dfrac{29}{50}$
Sol :
(i),(iii),(vi),(viii)
Question 8
निम्नलिखित परिमेय संख्याओ मे कौन-कौन अनवसानी दशमलव को निरुपित कर सकते है ?
(i) $\dfrac{11}{7}$
(ii) $\dfrac{3}{10}$
(iii) $\dfrac{7}{18}$
(iv) $\dfrac{23}{250}$
(v) $\dfrac{17}{21}$
(vi) $\dfrac{29}{30}$
(vii) $\dfrac{29}{121}$
(viii) $\dfrac{31}{60}$
Sol :
(i),(iii),(v),(vi),(vii),(viii)
Question 9
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:
(i) $\frac{36}{100}$
Sol :
=0.36 सांत (टर्मिनेटिंग) है।
(ii) $\frac{10}{3}$
Sol
=3.3333….$=3.\overline{3}$ = असांत
(iii) $\frac{1}{11}$
Sol :
असांत
(iv) $\frac{7}{8}$
Sol :
सांत
(v) $\frac{3}{10}$
Sol :
सांत
(vi) $\frac{1}{3}$
Sol :
असांत
Question 11
दिखाइए कि निम्नलिखित संख्याओ को $\frac{p}{q}$ के रुप मे व्यक्त किया जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक है तथा q≠0
(i) $1.\overline{27}$
Sol :
माना $x=1.\overline{27}$
दोनो तरफ 100 से गुणा करने पर
$100x=127.\overline{27}$
समीकरण (ii) से (i) को घटाने पर,
⇒$100x-x=127.\overline{27}-1.\overline{27}$
⇒99x=126
⇒$x=\frac{126}{99}=\frac{14}{11}$
(ii) 0.3333…
Sol :
माना $x=0.\overline{3}$…(i)
दोनो तरफ 10 से गुणा करने पर,
$10x=3.\overline{3}$….(ii)
समीकरण (ii) से (i) को घटाने पर
⇒$10x-x=3.\overline{3}-0.\overline{3}$
⇒9x=3
⇒$x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
(iii) $0.\overline{6}$
Sol :
माना $x=0.\overline{235}$…(i)
(i) मे दोनो तरफ 10 से गुणा करने पर
10x=$x=2.\overline{35}$…(ii)
(i) मे दोनो तरफ 100 से गुणा करने पर
$1000x=235.\overline{35}$…(iii)
समीकरण (iii) मे से (ii) को घटाने पर
⇒$1000x-10x=235.\overline{35}-2.\overline{35}$
⇒990x=233
(v) $3.\overline{142678}$
Question 17
0 और 0.2 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करें ।
Sol :
पहली परिमेय संख्या
$=\frac{1}{2}(0+0.2)=\frac{0.2}{2}$
=0.1
दूसरी परिमेय संख्या
$=\frac{1}{2}(0+0.1)$
$=\frac{0.1}{2}$
=0.05
$=\frac{1}{2}(0.1+0.2)$
$=\frac{0.3}{2}$
=0.15
Question 25
यदि x और y परिमेय संख्याएँ हों तो दिखायें कि निम्नलिखित भी परिमेय संख्याएँ होंगी :
(i) $x^{2}-y^{2}$
Sol :
माना $x=\frac{p}{q}$ तथा $y=\frac{m}{n}$ दो परिमेय संख्या है
(ii) x-y
Sol :
$=\left(\frac{p}{q}\right)^{2}-\left(\frac{m}{n}\right)^{2}$
$=\frac{p^{2}}{q^{2}}-\frac{m^{2}}{n^{2}}$
$=\frac{p^{2} n^{2}-q^{2} m^{2}}{q^{2} n^{2}}$
परिमेय
(iii) $\frac{x}{y}$, जहाँ $y \neq 0$
Sol :
$\frac{x}{y}=\frac{\frac{p}{q}}{\frac{m}{n}}=\frac{p n}{q m}$
(iv) x+y
Question 26
यदि a एक परिमेय संख्या हो तो सिद्ध करें कि $a^n$ एक परिमेय संख्या होगी जहाँ n, 1 बड़ी प्राकृत संख्या है।
Sol :
दो परिमेय संख्याओ का गुणनफल भी एक परिमेय संख्या होती है।
$a^{2}=a \times a$=एक परिमेय संख्या
$a^{2} \times a=a^{3}$=एक परिमेय संख्या
$a^{3} \times a=a^{4}$=एक परिमेय संख्या
$a^{4} \times a=a^{5}$=एक परिमेय संख्या
…
…
..
$a^{n}$ =एक परिमेय संख्या