Question 1
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के प्रयोग से निम्नलिखित का H.C.F ज्ञात करे।
(i) 156 और 504
Sol :
a=504 ,b=156
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
504=156×3+36
156=36×4+12
36=12×3+0
HCF(म.स.)=12
(ii) 135 और 225
Sol :
a=225, b=135
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2+0
(iii) 455 और 42
Sol :
a=455, b=42
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
455=42×10+35
42=35×1+7
35=7×5+0
(iv) 8840 और 23120
Sol :
a=23120, b=8840
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
23120=8840×2+5440
8840=5440×1+3400
5440=3400×1+2040
3400=2040×1+1360
2040=1360×1+680
1360=680×2+0
(v) 4052 और 12576
Sol :
a=4052, b=12576
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
12576=4052×3+420
4052=420×9+272
420=272×1+148
272=148×1+124
148=124×1+24
124=24×5+4
24=4×6+0
HCF(म.स.)=4
(vi) 3318 और 4661
Sol :
a=4661, b=3318
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
4661=3318×1+1343
3318=1343×2+632
1343=632×2+79
632=79×8+0
(vii) 250,175 और 425
Sol :
250>175
a=250,b=175
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
a=bq+r, 0≤r<b
250=175×1+75
175=75×2
75=25×3+0
250 तथा 175 का HCF=25
पूनः=25×17+0
HCF=25
(viii) 4407,2938 और 1469
Sol :
a=2938
b=1469
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
2938=1469×2+0
अब,
b=1469,a=4407
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
4407=1469×3+0
(ix) 196 और 38220
Sol :
a=38220
b=196
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
38220=196×195+0
HCF(म.स.)=196
Question 2
दर्शाएँ कि प्रत्येक धनात्मक सम पूणाँक 2q के रूप का है एवं प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णाक 2q+1 के रूप का है, जहाँ q एक पूणाक है|
Sol :
माना a कोई धनात्मक पूर्णाक है ,जिसे 2 से विभाजीत करने पर भागफल q तथा दूोषफल r प्राप्त होता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
a=2q, 2q+1
2q, 2 से विभाज्य है।
अतः प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप मे होता है
2q+1, 2 से विभाज्य नही है।
अतः प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप मे होता है।
Question 3
दिखाएँ कि एक धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1 या 4q+3 के रूप का होता है, जहाँ q एक पूर्णांक है।
Sol :
माना a कोई धनात्मक पूर्णाक है ,जिसे 4 से विभाजीत करने पर भागफल q तथा शेषफल r प्राप्त होता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
∴ a=4q, 4q+1, 4q+2, 4q+3
∵ 4q+1, 4q+3, 2 से विभाज्य नही है।
अतः 4q+1 या 4q+3 विषम धनात्मक पूर्णांक का रूप है।
Question 4
दो पात्रो में 250 और 425 लीटर दूध है। पात्र की महतम धारिता क्या है, जो दोनों पात्रों के दूथ को पूर्ण रूप से माप सकती है ?
Sol :
425>250
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
425=250×1+175
250=175×1+75
175=75×2+25
75=25×3+0
HCF=25, महत्तम धारिता=25
Question 5
एक आयताकार सतह की लंम्बाई 4661 मीटर एवं चौड़ाई 3318 मीटर है। इसके सम्पूर्ण क्षेत्र पर वर्गाकार टाइल्स बिछाना है। इसका टाइल्स की लम्बाई ज्ञात करे ।
Sol :
आयतकार की लम्बाई=4661
सतह की चौड़ाईृ3318
माना कि a=4661, b=3318
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
4661=3318×1+1343
3318=1343×2+632
1343=632×2+79
632=79×8+0
∴टाइल्स की लंम्बाई=79 मीटर
Question 6
वर्गाकार टाइल्सो की न्यूनतम संख्या जात करें जो एक आयताकार फर्श को ढक सकती है जिसकी लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 16 मीо 58 सेमीо और 8 मीо 32 सेमीо है ।
Sol :
आयताकार फर्श की लंम्बाई=16m58cm
आयताकार फर्श की चौड़ाई=8m32cm
=832cm
1658>832
a=1658, b=832
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,
1658=832×1+826
832=826×1+6
826=6×137+4
6=4×1+2
4=2×2+0
HCF=2
वर्ग की भुजा=2cm
वर्गाकार टाईल्सो की संख्या=आयताकार फर्श का क्षेत्रफल / वर्गाकार टाइल्स का क्षेत्रफल
$=\frac{1658 \times 832}{2 \times 2}$
=344864