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Question 1
त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें जिसके शीर्ष निम्नलिखित हैं :
[Find the area of the triangle whose vertices are :]
(i) (-2,4),(2,-6),(5,4)
Sol :
<to be added>
Diagram
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right|$
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}-2 & 4 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1\end{array} \right|$
R1→R1-R2 , R2→R2-R3
$=\frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc}-4 & 10 & 0 \\ -3 & -10 & 0 \\ 5 & 4 & 1\end{array}\right|$
C3 के सापेक्ष विस्तार करने पर ,
⃤ ABC का $=\frac{1}{2} \times 1\left|\begin{array}{cc}-4 & 10 \\ -3 & -10\end{array}\right|$
$=\frac{1}{2}(40+30)$
$=\frac{1}{2} \times 70$
35 वर्ग इकाई
(ii) (2,7),(1,1),(10,8)
Sol :
(iii) (1,0),(6,0),(4,3)
Sol :
(iv) (1,4),(2,3),(-5,-3)
Sol :
(v) (-3,2),(5,4),(7,-6)
Sol :
(vi) (1,4),(2,3),(-5,-3)
Sol :
(vii) (3,1),(4,3),(-5,4)
Sol :
(viii) (3,8),(-4,2),(5,1)
Sol :
Question 2
x का मान निकालें यदि त्रिभुज जिसके शीर्ष (x, 4),(2,-6) तथा (5,4) हैं का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई है ।
[Find the value of x if the area of triangle is 35sq units whose vertices are (x,4),(2,-6) and (5,4)]
Sol :
<to be added>
Diagram
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}x_1 & y_1 & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{2} & 1\end{array}\right|=\pm 35$
$\left|\begin{array}{ccc}x & 4 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1\end{array}\right|=\pm 70$
$\left|\begin{array}{ccc}x-2 & 10 & 0 \\ -3 & -10 & 0 \\ 5 & 4 & 1\end{array}\right|=\pm 70$
C3 के सापेक्ष विस्तार करने पर ,
$\left|\begin{array}{cc}x-2 & 10 \\ -3 & -10\end{array}\right|=\pm 70$
⇒-10x+20+30=±70
⇒-10x+50=±70
⇒-10x+50=+70
⇒-10x=20
⇒$x=\dfrac{20}{-10}=-2$
⇒-10x+50=-70
Question 3
साबित करें कि उस त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष (t, t-2),(t+3, t) तथा (t+2, t+2) हैं, 1 से स्वतंत्र है ।
[Show that the area of the triangle whose vertices are (t,t-2) ,(t+3,t) and (t+2,t+2) is independent of t ]
Sol :
<to be added>
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}t & t-2 & 1 \\ t+3 & t & 1 \\ t+2 & t+2 & 1\end{array}\right|$
R1→R1-R2 , R2→R2-R3
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ t+2 & t+2 & 1\end{array}\right|$
Expanding along C3
<to be added>
$=\frac{1}{2}(1)\left|\begin{array}{rr}-3 & -2 \\ 1 & -2\end{array}\right|$
$=\frac{1}{2}(6+2)$
$=\frac{1}{2} \times 8$
4 वर्ग इकाई
Question 4
k का मान निकालें यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई तथा शीर्ष निम्नलिखित है:[Find the value of k if area of triangle is 4 sq units and vertices are :]
(i) (-2,0)(0,4)(0,k)
Sol :
<to be added>
Diagram
4 वर्ग इकाई
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}-2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & k & 1\end{array}\right|=\pm 4$
$-2\left|\begin{array}{cc}4 & 1 \\ k & 1\end{array}\right|=\pm 8$
-2(4-k)=±8
-8+2k=±8
$\begin{array}{r|l}-8+2 k=8 &-8+2k=-8\\2 k=16 &k=\frac{0}{2} \\k=\frac{16}{2}&k=0\\k=8\end{array}$
(ii) (k,0)(0,2)(4,0)
Sol :
Question 5
जाँच करें कि निम्नलिखित बिन्दुएँ संरेख है या नही ं
[Examine whether following points are collinear or not :]
(i) (2,5),(-5,-2),(-1,2)
Sol :
Let A(2,5), B(-5,-2) and C(-1,2) are three points
<to be added>
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right|$
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}2 & 5 & 1 \\ -5 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right|$
R1→R1-R2 , R2→R2-R3
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr}7 & 7 & 0 \\ -4 & -4 & 0 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right|$
C3 के सापेक्ष विस्तार करने पर ,
$=\frac{1}{2}(1)\left|\begin{array}{cc}7 & 7 \\ -4 & -4\end{array}\right|$
$=\dfrac{1}{2}(-28+28)$
=0
<to be added>
(ii) (-3,2),(-5,-4),(7,-6)
Sol :
(iii) (1,5),(2,4),(3,3)
Sol :
Question 6
साबित करें कि बिन्दुएँ (a,b+c),(b,c+a) तथा (c,a+b) संरेख है।
[Prove that the points (a,b+c),(b,c+a) and (c,a+b) are collinear]
Sol :
Let the points are (a,b+c),(b,c+a) and (c,a+b)
<to be added>
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}a & b+c & 1 \\ b & c+a & 1 \\ c & a+b & 1\end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2}+C_{1}$
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}a & a+b+c & 1 \\ b & a+b+ c & 1 \\ c & a+b+c & 1\end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2}+C_{1}$
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}a & a+b+c & 1 \\ b & a+b+c & 1 \\ c & a+b+c & 1\end{array}\right|$
$=\frac{1}{2} \times 0=0$
Question 7
यदि बिन्दुएँ (a,b),(a1,b1) तथा (a-a1 , b-b1) संरेख हैं तो दिखाएँ कि
[If the points (a,b),(a1,b1) and (a-a1 , b-b1)] are collinear , show that .]
$\frac{a}{a_{1}}=\frac{b}{b_{1}}$\
Sol :
∵(a,b),(a1,b1) तथा (a-a1 , b-b1) संरेख हैं
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}a & b & 1 \\ a_{1} & b_{1} & 1 \\ a-a_1 & b-b_{1} & 1\end{array}\right|=0$
R1→R1-R2-R3
$\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ a_{1} & b_{1} & 1 \\ a_-a{_{1}} & b-b_{1} & 1\end{array}\right|=0$
R1 के सापेक्ष विस्तार करने पर ,
$-\left|\begin{array}{cc}a_{1} & b_{1} \\ a-a_{1} & b-b_{1}\end{array}\right|=0$
a1(b-b1)-b1(a-a1)=0
a1b-a1b1-b1a+a1b1=0
-b1a=-a1b
$\frac{a}{a_{1}}=\frac{b}{b_{1}}$
Question 8
बिन्दुएँ (a,0),(0,b) तथा (x,y) सरीख है यदि $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
[Show that the points (a,0),(0,b) and (x,y) are collinear if $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$]
Sol :
माना बिन्दुएँ (a,0),(0,b) तथा (x,y) सरीख है
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}a & 0 & 1 \\ 0 & b & 1 \\ x & y & 1\end{array}\right|=0$
$\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 0 & b & 1 \\ x & y & 1\end{array}\right|=0$
Expanding along R1
$a\left|\begin{array}{ll}b & 1 \\ y & 1\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{ll}0 & b \\ x & y\end{array}\right|=0$
⇒a(b-y)+1(0-bx)=0
⇒ab-ay-bx=0
⇒ab=bx+ay
⇒$1=\frac{b x+a y}{a b}$
⇒$1=\frac{b x}{a b}+\frac{a y}{a b}$
⇒$1=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$
Question 9
k का किस मान के लिए बिन्दुएँ (1,4) तथा (-3 , 16) संरेख है ।
[For what value of k , the points (1,4) and (-3 , 16) are collinear]
Sol :
माना बिन्दुएँ (1,4) तथा (-3 , 16) सरीख है
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr}1 & 4 & 1 \\ k & -2 & 1 \\ -3 & 16 & 1\end{array}\right|=0$
R1→R1-R2 , R2→R2-R3
$\left|\begin{array}{ccc}1-k & 6 & 0 \\ k+3 & -18 & 0 \\ -3 & 16 & 1\end{array}\right|=0$
⇒C3 के सापेक्ष विस्तार करने पर ,
⇒$\left|\begin{array}{cc}1-k & 6 \\ k+3 & -18\end{array}\right|=0$
⇒-18(1-k)-6(k+3)=0
⇒-18+18k-6k-18=0
⇒12k-36=0
⇒12k=36
⇒$k=\frac{36}{12}=3$
t का मान निकाले जिसके लिए बिन्दुएँ (1,-1) , (3,-3) तथा (t,2) संरेख है
[Find the value of t for which the points (1,-1) , (3,-3) and (t,2) are collinear ]
Sol :
माना बिन्दुएँ (1,-1) , (3,-3) तथा (t,2) संरेख है
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 1 \\ t & 2 & 1\end{array}\right|=0$
R1→R1-R2 , R2→R2-R3
$\left|\begin{array}{ccc}-2 & 2 & 0 \\ 3-t & -5 & 0 \\ t & 2 & 1\end{array}\right|=0$
Expanding along C3
$1\left|\begin{array}{cc}-2 & 2 \\ 3-t & -5\end{array}\right|=0$
⇒10-2(3-t)=0
⇒-2(3-t)=-10
⇒3-t=5
⇒-t=5-3
⇒-t=2
⇒t=-2
Question 11
सारणिक का प्रयोग कर (3,1) तथा (9,3) को मिलानेवाली रेखा का समीकरण निकालें ।
[Find the equation of the line joining (3,1) and (9,3) using determinants.]
Sol :
<to be added>
Diagram2
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ x & y & 1\end{array}\right|=0$
$R_{1} \rightarrow R_{1}-\frac{1}{3} R_{2}$
$\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & \frac{2}{3} \\ 9 & 3 & 1 \\ x & y & 1\end{array}\right|=0$
Expanding along R1
$\frac{2}{3}\left|\begin{array}{ll}9 & 3 \\ x & y\end{array}\right|=0$
⇒9y-3x=0
⇒-3x+9y=0
⇒-3(x-3y)=0
⇒x-3y=0
Question 12
सारणिक का प्रयोग कर बिन्दुओं A(1,3) तथा B(0,0) से गुजरती हुई रेखा का समीकरण निकालें तथा k का मान निकाले यदि D(k, 0) एक ऐसा बिन्दु है ताकि त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है ।
[Find the equation of the line joining A(1,3) and B(0,0) using determinants and find k if D(k, 0) is a point such that area of triangle ABD is 3 sq. units.]
Sol :
<to be added>
Diagram
<to be added>
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & y & 1\end{array}\right|=0$
Expanding along R2
$-1\left|\begin{array}{ll}1 & 3 \\ x & y\end{array}\right|=0$
⇒-(y-3x)=0
⇒3x-y=0
Diagram
<to be added>
$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1\end{array}\right|=\pm 3$
$\left|\begin{array}{lll}1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1\end{array}\right|=\pm 6$
Expanding along R2
$-1\left|\begin{array}{ll}1 & 3 \\ k & 0\end{array}\right|=\pm 6$
⇒-(0-3k)=±6
⇒3k=±6
⇒k=±2