Contents
- 1 Question 1
- 2 Question 2
- 3 Question 3
- 4 Question 4
- 5 Question 5
- 6 Question 6
- 7 Question 7
- 8 Question 8
- 9 Question 9
- 10 Question 10
- 11 Question 11
- 12 Question 12
- 13 Question 13
- 14 Question 14
- 15 Question 15
- 16 Question 16
- 17 Question 17
- 18 Question 18
- 19 Question 19
- 20 Question 20
- 21 Question 21
- 22 Question 22
- 23 Question 23
- 24 Question 24
- 25 Question 25
- 26 Question 26
- 27 Question 27
- 28 Question 28
- 29 Question 29
- 30 Question 30
- 31 Question 31
- 32 Question 32
- 33 Question 33
- 34 Question 34
- 35 Question 35
- 36 Question 36
- 37 Question 37
Question 1
सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल ज्ञात करें, जहाँ
[Find the scalar product of vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$, where]
(i) $\hat{a}=2 \hat{\imath}+4 \hat{k}, \hat{b}=3 \hat{j}-2 \hat{k}$
Sol :
$\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times 0+0 \times 3+4 \times(-2)=-8$
(ii) $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+4 \hat{j}$
Sol :
$\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times 3+0 \times 4+(-3) \times 0$
Question 2
यदि (If) $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}$ तथा (and) $\vec{c}=3 \hat{j}+\hat{k}$ तो निम्नलिखित को सत्यापित करें।(then verify the following)
(i) $\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$
Sol :
LHS
$=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}+\vec{k})$
=2+2+1=5
RHS
$=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(2 \hat{i}-\hat{j})+(\hat{\imath}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(3 \hat{j}+\hat{k})$
=2-1+3+1=5
$\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$
(ii) $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=a^{2}-b^{2}$
Sol :
LHS
$=(3 \hat{i}+\hat{k}) \cdot(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
=-1+1=-2
RHS
$=\left(\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\right)^{2}-\left(\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}\right)^{2}$
$=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}$
=3-5=-2
Question 3
(i) 1 और 2 इकाई परिमाण वाले दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए यदि $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$
[Find the angle between two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ with magnitudes and 2 respectively if $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$ ]
Sol :
$|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=1$
$\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\operatorname{cos} \theta=\frac{1}{1 \times 2}$
$\cos \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}$
(ii) यदि $\vec{a} \cdot \vec{a}=0$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$, तो सदिश $\vec{b}$ के बारे में क्या निष्कर्ष निकल सकता है ?
[If $\vec{a} \cdot \vec{a}=0$ and $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$, then what conclusion can be drawn about vector $\vec{b}$ ?]
Sol :
$\vec{a} \cdot \vec{a}=0$
$\Rightarrow \vec{a}=\overrightarrow{0}$
तथा $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$
∴ $\vec{b}$ कोई भी सदिश हो सकता है।
(iii) यदि $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ अथवा $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ तब $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ परंतु विलोम का सत्य होना आवश्यक नही है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
[If $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ or $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ then $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$, but it is not necessary that its converse is true. Justify your answer by example.]
Sol :
Let
$\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{b}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=2-4+2=0$
$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$
(iv) दो शून्येत्तर सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के लिए $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ कब वैध हो
[For two non-zero vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ when $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+| \vec{b}|$ holds]
Sol :
$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$
दोनो तरफ वर्ग करने पर,
$|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^{2}$
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|$
$\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|$
$|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}. \vec{a}+|\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|$
$2\vec{a}.\vec{b}=2|\vec{a}||\vec{b}|$
$\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$
$\therefore \vec{a} \| \vec{b}$
Question 4
निम्नलिखित सदिशों के युग्म के बीच का कोण ज्ञात करें।
[Find the angles between the following pairs of vectors]
(i) $3 \hat{i}+2 \hat{j}-6 \hat{k}, 4 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$
Sol :
Let $\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-6 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}-3 \hat{j}+k$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=12-6-6=0$
∴दोनो सदिशों के बीच का कोण=90° या $\frac{\pi}{2}$
(ii) $2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}, 3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$
Sol :
Let
$\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\vec{k}$
$\vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=6+3-2=7$
$|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+(3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$
$|\vec{b}|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$
$\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\cos \theta=\frac{7}{\sqrt{14} \times \sqrt{14}}$
$\cos \theta=\frac{7}{14}$
$\theta=\frac{\pi}{3}$
(iii) $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ तथा $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
Sol :
Let
$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$
$\vec{b}=\hat{\imath}-\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=1-1-1=-1$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3}$
$|\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{3}$
$\cos \theta=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\cos \theta=\frac{-1}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
$\cos \theta=\frac{-1}{3}$
$\theta=\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$
$=\pi-\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
(iv) $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$
Sol :
Question 5
साबित करें कि निम्नलिखित सदिश परस्पर लम्ब हैं।
[Prove that the following vectors are at right angles.]
(i) $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$
Sol :
Let
$\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}$
$\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{\jmath}-5 \hat{k}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=2+3-5=0$
∴$\vec{a} \perp \vec{b}$
(ii) $2 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k}, 3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$
Sol :
Question 6
सदिशों $3 \hat{\imath}+4 \hat{j}$ तथा $2 \hat{j}-5 \hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात करें।
[Find the angle between the vectors $3 \hat{i}+4 \hat{j}$ and $2 \hat{j}-5 \hat{k}$]
Sol :
Let
$\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}, \vec{b}=2 \hat{j}-5 \hat{k}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \times 0+4 \times 2+0 \times(-5)$
=8
$|\vec{a}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$
$|\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$
$\cos \theta=\frac{\vec{a}. \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\cos \theta=\frac{8}{5 \sqrt{29}}$
$\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{8}{5 \sqrt{29}}\right)$
Question 7
$3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ तथा $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात करें। साथ ही उनके बीच के कोण का ज्या निकालें।
[Find the angle between $3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ and $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ also find the sine of the angle between them]
Sol :
माना
$\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$
$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \times 1+4 \times 1+5 \times 1$
=3+4+5=12
$|\vec{a}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+5^{2}}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$
$|\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$
$\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\cos \theta=\frac{12}{5 \sqrt{2} \times \sqrt{3}}$
$\cos \theta=\frac{12}{5 \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$
$\cos \theta=\frac{12\sqrt{6}}{5 \times 6}$
$\cos \theta=\frac{2 \sqrt{6}}{5}$
$\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)$
$\begin{aligned} \sin \theta &=\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ &=\sqrt{1-\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{1-\frac{24}{25}}\\&=\sqrt{\frac{25-24}{25}} \end{aligned}$
$\sin \theta=\frac{1}{5}$
Question 8
साबित करें कि निम्नलिखित सदिश परस्पर लम्ब हैं।
[Show that the following vectors are perpendicular to each other.]
(i) $6 \hat{i}+3 \hat{\jmath}+2 \hat{k}, 2 \hat{i}-6 \hat{\jmath}+3 \hat{k},-3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+6 \hat{k}$
Sol :
Let
$\vec{a}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$
$\vec{b}=2 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}$
$\vec{c}=-3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 k$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=12-18+6=0$
$\vec{b} \cdot \vec{c}=-6-12+18=0$
$\vec{c} \cdot \vec{a}=-18+6+12=0$
∴तीनों सदिश परस्पर लंब है।
Question 9
यदि $\vec{a}=3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+9 \hat{k}$ तथा $\vec{b}=\hat{\imath}+\lambda \hat{\jmath}+3 \hat{k}$, तो λ का मान ज्ञात करें ताकि $\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}$ पर लम्ब हो ।
Sol :
$\vec{a}+\vec{b}=4 \hat{i}+(2+\lambda) \hat{j}+12 \hat{k}$
$\vec{a}-\vec{b}=2 \hat{i}+(2-\lambda) \hat{j}+6 \hat{k}$
$\because(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})$
$\therefore(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$
$8+\left(2^{2}-\lambda^{2}\right)+72=0$
$8+4-\lambda^{2}+72=0$
$84-\lambda^{2}=2$
$\lambda^{2}=84$
$\lambda=\pm \sqrt{84}$
$=\pm 2\sqrt{2}$
Question 10
यदि $\vec{a}=4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}$ तथा $\vec{b}=5 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k}$, तो सदिशों $\vec{a}+\vec{b}$ तथा $\vec{a}-\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात करें।
Sol :
$\vec{a}=4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}, \vec{b}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{b}$
$\vec{a}+\vec{b}=9 \hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k}$
$\vec{a}-\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{k}$
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=-9-8=-17$
$|\vec{a}+\vec{\jmath}|=\sqrt{9^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{81+16+16}=\sqrt{113}$
$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
$\vec{a}+\vec{b}$ तथा $ \vec{a}-\vec{b}$ के बीच का कोण
$\cos \theta=\frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b}\rangle}{|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}-\vec{b}|}$
$\cos \theta=\frac{-17}{\sqrt{113} \times \sqrt{5}}$
$\cos \theta=\frac{-17}{\sqrt{565}}$
$\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{-17}{\sqrt{565}}\right)$
Question 11
यदि $\vec{a}=5 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+3 \hat{k}$ तथा $\vec{b}=\hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-5 \hat{k}$, तो दिखाएँ कि सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ तथा $\vec{a}-\vec{b}$ लम्बव्त् हैं।
Sol :
$\begin{aligned} \vec{a}+\vec{b} &=5 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}+\hat{i}+3 \hat{j}-5 \vec{k} \\ &=6 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \vec{a}-\vec{b} &=(5 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})-(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) \\ &=5 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}-\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k} \\ &=4 \hat{i}-4 \hat{j}+8 \hat{k} \end{aligned}$
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=(6 \vec{i}+2 \hat{j}-2 \vec{k}) \cdot(4 \vec{i}-4 \hat{j}+8 \vec{k})$
=24-8-16=0
∴$(\vec{a}+\vec{b}) \perp(\vec{a}-\vec{b})$
Question 12
x के किस मान के लिए, सदिश $x \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k}$ तथा $x(-\hat{\imath}+\hat{\jmath})+2 \hat{k}$ परस्पर लम्ब हैं।
Sol :
माना
$\vec{a}=x \hat{j}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$
$\vec{b}=-x i+x \hat{j}+2 \hat{k}$
$\because \vec{a}+\vec{b}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=0$
$(x \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot\left(-x \hat{i}+x \hat{j}+2 \hat{k}\right)=0$
$-x^{2}-3 x+10=0$
$x^{2}+3 x-10=0$
$x^{2}+5 x-2 x-10=0$
x(x+5)-2(x+5)=0
(x+5)(x-2)=0
x+5=0 | x-2=0
x=-5 | x=2
Question 13
यदि $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}-5 \hat{k}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}-4 \hat{k}$. तो दिखाएँ कि $\mathrm{CB}, \mathrm{AC}$ पर लम्ब हैं।
Sol :
$\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$
$=(\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})-(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k})$
$=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}-3 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$
$\overrightarrow{C B}=-2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$
$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}$
$=(3\hat{ i}-4 \hat{j}-4 \vec{k})-(2 \hat{i}-\hat{j}+\vec{k})$
$=3 \vec{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}-2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$
$=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$
$\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{A C}=(-2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot(\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})$
=-2-3+5=0
∴CB⟂AC
Question 14
यदि $\vec{a}=2 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+3 \hat{k}, \vec{b}=-\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+\hat{k}$ तथा $\vec{c}=3 \hat{\imath}+\hat{\jmath}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c}$ पर लम्ब है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
$\left.\vec{a}+\lambda \vec{b}=(2 \hat{i}+2\hat{j}+3 \vec{k}\right)+\lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\vec{k})$
$=2 \hat{\imath}+2 \hat{j}+3 \hat{k}-\lambda \hat{j}+2 \lambda \hat{j}+\lambda \hat{k}$
$\vec{a}+\lambda \vec{b}=(2-\lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \vec{k}$
$\because \vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c}$ पर लंब है।
$(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c}=0$
$\left[\left(2-\lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \hat{k}\right] \cdot\left(3\hat{i}+\hat{j}\right)=0\right.$
$3(2-\lambda)+1(2+2 \lambda)=0$
$6-3 \lambda+2+2 \lambda=0$
$-\lambda+8-0 \Rightarrow \lambda=8$
Question 15
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है.
[Show that each of the following three vectors is a unit vector]
$\frac{1}{7}(2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+6 \hat{k}), \frac{1}{7}(3 \hat{\imath}-6 \hat{\jmath}+2 \hat{k}), \frac{1}{7}(6 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k})$
यह भी दिखाएँ कि ये सदिश परस्पर लम्ब हैं।
Sol :
माना
$\vec{a}=\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}$
$\vec{b}=\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}$
$\vec{c}=\frac{6}{7} \hat{i}+\frac{2}{7} \hat{j}-\frac{3}{7} \hat{k}$
$|\vec{a}|=\sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{4}{49}+\frac{9}{49}+\frac{36}{49}}$
$=\sqrt{\frac{49}{49}}$
=1
$|\vec{b}|=\sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}}$
=1
$|\vec{c}|=\sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-3}{7}\right)^{2}}$
=1
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$
∴$\vec{a}, \vec{b}$ तथा $\vec{c}$ एक इकाई सदिश है।
Question 16
दिखाएँ कि शीर्ष (1,-1,1),(2,3,-1) तथा (3,0,2) वाले त्रिभुज के तीनों कोण, क्रमरः
$\cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{114}}, \cos ^{-1} \frac{4}{\sqrt{176}} \text { तथा (and) } \cos ^{-1} \frac{17}{\sqrt{399}}$हैं।
Sol :
माना ΔABC के शीर्ष क्रमशः A(1,-1,1), B(2,3,-1) तथा C(3,0,2) है।
$\overrightarrow{A B}=(2-1) \hat{\imath}+(3+1) \hat{j}+(-1-1) \hat{k}$
$=\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$
$\overrightarrow{AC}=(3-1) \hat{i}+(0+1) \hat{j}+(2-1) \hat{k}$
$=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$
$\overrightarrow{AB}=\sqrt{{1 }^{2}+{4}^{2}+(-2)^{2}}$
$=\sqrt{1+16+4}$
$=\sqrt{21}$
$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$
cos A$=\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{|\vec{AB} |\vec{AC}||}$
$\cos A=\frac{4}{\sqrt{21} \sqrt{6}}$
$A=\cos ^{-1}\left(=\frac{4}{\sqrt{126}}\right)$
$\overrightarrow{B A}=-\hat{i}-4 \hat{j}+2 \vec{k}$
$\begin{aligned} \overrightarrow{B C} &=(3-2) \hat{i}+(0-3) \hat{j}+(2+1) \hat{k}\\ &=\hat{i}-3 \hat{\jmath}+3\hat{k} \end{aligned}$
$\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}$=-1+12+6=17
$|\overrightarrow{B A}|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}$
$|\overrightarrow{B C}|=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9+9}=\sqrt{19}$
$\cos B=\frac{\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{B A}| \cdot|\overrightarrow{B C}|}$
$ \Rightarrow \cos B=\frac{17}{\sqrt{21} \times \sqrt{19}}$
$\cos B=\frac{17}{\sqrt{399}}$
$B=\cos ^{-1}\frac{17}{\sqrt{399}}$
$\overrightarrow{C B}=-\hat{i}+3 \hat{j}-3 \hat{k}$
$\overrightarrow{C A}=-2 \hat{j}-\hat{j}-\hat{k}$
$\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}=$=2-3+9=2
$|\overrightarrow{C B}|=\sqrt{19} \quad, \quad \overrightarrow{C A}=\sqrt{6}$
$\cos C=\frac{\overrightarrow{C B} \cdot\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{C A}|}$
$\cos C=\frac{2}{\sqrt{19} \times \sqrt{6}}$
$\begin{aligned} \cos C &=\frac{2}{\sqrt{114}} \\ C &=\cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{14}} \end{aligned}$
Question 17
सदिशों $\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}$ तथा $3 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+2 \hat{k}$ में से प्रदेक पर सम्द इकाई सदिश क अदिश पटक निकलें।
Sol :
माना $\vec{a}=\hat{j}+2 \hat{j}-\vec{k}, \vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$
माना $\vec{c}, \vec{a}$ तथा $\vec{b}$ पर लंब है।
$\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ (माना)
$\because \vec{c} \perp \vec{a}$
$\vec{c} \cdot \vec{a}=0$ $ \Rightarrow \quad x+2 y-z=0$…(i)
$\because \vec{c} \perp \vec{b}$
$\vec{c} \cdot \vec{b}=0 \Rightarrow 3 x-y+2 z=0$…(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) है,
$=\dfrac{x}{\begin{matrix}&2 & &-1\\&&\times &\\&-1& &2\end{matrix}}=\dfrac{y}{\begin{matrix}&-1 & &1\\&&\times &\\&2& &3\end{matrix}}=\dfrac{z}{\begin{matrix}&1 & &2\\&&\times &\\&3& &-1=\lambda\end{matrix}}$
$\frac{x}{4-1}=\frac{y}{-3-2}=\frac{z}{-1-6}=\lambda$
$\frac{x}{3}=\frac{y}{-5}=\frac{z}{-7}=\lambda$
$x=3 \lambda, y=-5 \lambda, z=-7 \lambda$
∴$\vec{c}=3 \lambda \hat{i}-5 \lambda \hat{j}-7 \lambda \hat{k}$
$\vec{c}=\lambda(3 \hat{i}-5 \hat{j}-7 \hat{k})$
∵$\vec{c}$ एक इकाई सदिश है।
$|\vec{c}|=1$
$|\lambda| \sqrt{3^{2}+(-5)^{2}+(-7)^{2}}=1$
$\lambda+\sqrt{9+25+49}=1$
$\lambda \sqrt{83}=1 \Rightarrow \lambda=\frac{1}{\sqrt{83}}$◘
$\therefore \vec{c}=\frac{1}{\sqrt{83}}\left(3 \hat{i}-5 \hat{j}-7 \hat{k}\right)$
$\vec{c}=\frac{3}{\sqrt{83}} \hat{\imath}-\frac{5}{\sqrt{83}} \hat{j}-\frac{7}{\sqrt{83}} \hat{k}$
अदिश घटकः
$\frac{3}{\sqrt{83}}, \frac{-5}{\sqrt{83}}, \frac{-7}{\sqrt{83}}$
Question 18
यदि $\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}-5 \hat{k}$, तो एक सदिश $\vec{c}$ ज्ञात करें ताकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक समकोण त्रिभुज की क्रमागत भुजाएँ बनाती हैं।
Sol :
∵$\vec{a}=2 \hat{\lambda}-\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=2+3-5=0$
$\therefore \vec{a} \perp \vec{b}$
$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$
$\overrightarrow{A C}=\vec{a}+\vec{b} \Rightarrow \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$
$=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}+\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$
$=3 \hat{i}-4 \hat{\jmath}-4\hat{ k}$
Question 19
$3 \sqrt{2}$ परिमाण यासे zx-तल में स्थित सदिश हात करें जो सदिश $2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ पर लम्ब है।
Sol :
माना $\vec{a}=x \hat{i}+z \hat{k}$, जो zx-तल में स्थित है।
$|\vec{a}|=3 \sqrt{2}$
माना $\vec{b}=2 \hat{i}+j+2 \hat{k}$
$\because \vec{a}+\vec{b}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=0$
2x+2z=0
2(x+2)=0
x+z=0
z=-x
$\because|\vec{a}|=3 \sqrt{2}$
$\sqrt{x^{2}+z^{2}}=3 \sqrt{2}$
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$x^{2}+z^{2}=18$ (z=-x रखने पर)
$x^{2}+(-x)^{2}=18$
$2 x^{2}=18 \Rightarrow x^{2}=9$
$\begin{aligned} \Rightarrow x &=\pm 3 \\ z &=\mp 3 \end{aligned}$
∴स्थिति सदिश $\vec{a}=\pm 3 \hat{i}\mp 3 \hat{k}$
$=\pm 3\left(\hat{i}-\hat{k}\right)$
Question 20
एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{a}=3 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}-\hat{k}$ तथा $\vec{b}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-6 \hat{k}$ हैं। दिखाएँ कि समान्तर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है तथा इसके भुजाओं की लम्बाइयाँ तथा कोण ज्ञात करें।
Sol :
माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
$\overrightarrow{AC}=\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$
$\overrightarrow{BD}=\vec{a}=3 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}-\hat{k}$
∴ABCD एक समचतुर्भुज है।
$\begin{aligned} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D} &=\overrightarrow{A C} \\ \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D} &=\vec{b}….(i) \\ \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C} &=\vec{a} \\- \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C} &=\vec{a} ….(ii)\end{aligned}$
समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\begin{aligned}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{b}\\-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{a}\\ \hline \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\vec{b}+\vec{a}\end{aligned}$
$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{AD}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-6\hat{k}+3\hat{i}-4 \hat{j}-\hat{k}$
$2 \overrightarrow{A D}=5 \hat{i}-\hat{j}-7\hat{k}$
$\overrightarrow{AD}=\frac{5}{2} \hat{\imath}-\frac{1}{2} \hat{j}-\frac{7}{2} \hat{k}$
∵$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\vec{b}$ (समीकरण (i) से)
$\overrightarrow{A B}+\frac{5}{2} \hat{i}-\frac{1}{2}\hat{j}-\frac{7}{2} \hat{k}=2\hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$
$\overrightarrow{A B}=-\frac{1}{2} \hat{i}+\frac{7}{2} \hat{j}-\frac{5}{2} \hat{k}$
$|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-5}{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{49}{4}+\frac{25}{4}}$
$=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
$|\overrightarrow{B C}|=\frac{5 \sqrt{3}}{2}$
$|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DA}|=\frac{5 \sqrt{3}}{2}$
$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{AD}=-\frac{5}{4}-\frac{7}{4}+\frac{35}{4}=\frac{23}{4}$
$\cos A=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}}{|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{AD}|}$
$\cos A=\frac{\frac{23}{4}}{\frac{5 \sqrt{3}}{2} \times \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$
$\cos A=\frac{23}{75}$
$A=\cos ^{-1}\left(\frac{23}{75}\right)$
दूसरा कोण (∠B)$=\pi-\cos ^{-1}\left(\frac{23}{75}\right)$
Question 21
माना कि (Let) $\vec{a}=\hat{\imath}+4 \hat{\jmath}+2 \hat{k} ,b=\overrightarrow{3} \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+7 \hat{k}$ तथा (and) $\vec{c}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+4 \hat{k}$ एक ऐस्ता सदिश $\vec{d}$ ज्ञात करें जो $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ दोनों पर सम्ब हैं तथा $\vec{c} \cdot \vec{d}=15$.
Sol :
माना $\vec{d}=2 \hat{i}+y \hat{j}+2 \hat{k}$
∵$\vec{a},\vec{d}$ पर लंब है।
$\vec{a} \cdot \vec{d}=0$
x+4y+2z=0….(i)
∵$\vec{b},\vec{d}$ पर लंब है।
$\vec{b} \cdot \vec{d}=0$
3x-2y+7z=0….(ii)
∵$\vec{c}.\vec{d}=15$
2x-y+4z=15….(iii)
समीकरण (i) तथा (ii) सें,
x+4y+2z=0…(i)×1
3x-2y+7z=0….(ii)×2
$\begin{aligned} x+4 y+2 z&=0\\6 x-4 y+14 z&=0\\ \hline 7 x+16 z&=0….(iv)\end{aligned}$
समीकरण (ii) तथा (iii) से,
3x-2y+7z=0…(ii)×1
2x-y+4z=15…(iii)×2
$\begin{aligned}3x-2y+7z&=0\\ 2x-y+4z&=15 \\ \hline -x-z=-30$
x+z=30….(v)×7
$\begin{aligned} 7x+16z&=0\\7x+7z&=210\\ \hline 9z&=-210….(iv)\end{aligned}$
$z=\frac{-210}{9}=\frac{-70}{3}$
समीकरण (v) सें,
x+z=30
$x-\frac{70}{3}=30$
$x=\frac{160}{3}$
समीकरण (i) में x तथा z का मान रखने पर,
$y=-\frac{5}{3}$
$\therefore \vec{c}=\frac{160}{3} \hat{i}-\frac{5}{3} \hat{\jmath}-\frac{70}{3} \hat{k}$
$=\frac{5}{3}(32 \hat{\imath}-\hat{\jmath}-14 \hat{k})$
Question 22
(i) $\vec{b}+\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रहेय ज्ञात करें जहाँ [Find the projection of $\vec{b}+\vec{c}$ on $\vec{a}$, where $\vec{a}=\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+\vec{k}, \vec{b}=\hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\vec{k}$ तथा (and) $\vec{c}=\hat{\imath}+\vec{k}$.
Sol :
$\vec{b}+\vec{c}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$
$\vec{a}=\hat{a}+2 \hat{j}+\hat{k}$
$(\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}=2+6+2=10$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$
$\vec{b}+\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\vec{a}|}[\vec{b}+\vec{c}] \cdot \vec{a}$=1
$=\frac{1}{\sqrt{6}} \times 10=\frac{10}{\sqrt{6}}$
(ii) सदिश $\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}$ का सदिश $4 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}+7 \hat{k}$ पर प्रथेप ज्ञात करें।
Sol :
मान $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}, \hat{b}=4 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}+7 \hat{k}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=4+8+7=19$
$|\vec{b}|=\sqrt{4^{2}+(-7)^{2}+7^{2}}=\sqrt{16+16+49}$
$=\sqrt{81}=9$
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\vec{b}|} \cdot(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$=\frac{1}{9} \times 19=\frac{19}{9}$
Question 23
यदि $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-4 \hat{k}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\hat{\jmath}+\hat{k}$ मूल बिन्दु O से गुजरती हुई दो सदिश है, तो
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ का $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करें । [the projection of $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ on $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ]
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ का $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ पर प्रक्षेप घात करें। [the projection of $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ on $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ ]
Sol :
(i)
$\overrightarrow{O A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{j}-4 \hat{k}, \overrightarrow{OB}=\hat{j}+\hat{k}$
$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O A}=3-4=-1$
$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$
$|\overrightarrow{O B}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
(i) $\overrightarrow{OA}$ का $\overrightarrow{OB}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\overrightarrow{OB}|}(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB})$$=\frac{1}{\sqrt{2}} \times(-1)=\frac{-1}{\sqrt{2}}$
(ii) $\overrightarrow{O B}$ का $\overrightarrow{O A}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\overrightarrow{OA}|} \cdot(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OA})$ $=\frac{1}{\sqrt{29}} \times(-1)$
$=\frac{-1}{\sqrt{29}}$
Question 24
Question 25
Question 26
Question 27
P, Q. R, S बिन्दुए क्रमश: $\hat{\imath}-\hat{\jmath}-\hat{k},-\hat{\imath}+\hat{\jmath}, 2 \hat{\imath}-3 \hat{k}$ तथा $3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}-\hat{k}$ हैं। दिखाएँ कि PQ का RS पर प्रर्धेप तथा RS का PQ पर प्रक्षेफ बराबर हैं तथा प्रत्येक $-4 / 3$ है।
Sol :
माना बिन्दुओं P,Q,R तथा S का स्थिति सदिशः
$\overrightarrow{O P}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, \quad \overrightarrow{OQ}=-\hat{i}+\hat{\jmath}$
$\overrightarrow{OR}=2 \hat{i}-3 \hat{k}, \overrightarrow{OS}=3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}$
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$
$\overrightarrow{R S}=\overrightarrow{O S}-\overrightarrow{O R}=3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}-2 \hat{i}+3 \hat{i}=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$
$\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{R S}=\overrightarrow{R S} \cdot \overrightarrow{P Q}$
=-2-4+2=-4
$|PQ|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3$
$|\overrightarrow{R S}|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$
$\overrightarrow{P Q}$ का $\overrightarrow{R S}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{\mid \overrightarrow{RS}|}(\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{R S})$ $=\frac{1}{3}(-4)=\frac{-4}{3}$
$\overrightarrow{R S}$ का $\overrightarrow{PQ}$ $=\frac{1}{|\overrightarrow{PQ}|}(\overrightarrow{R S} \cdot \overrightarrow{P Q})$ $=\frac{1}{3}(-4)=\frac{-4}{3}$
Question 28
ज्ञात करें [Evaluate] $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b})$
Sol :
$(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b})=6 \vec{a} \cdot \vec{a}+21 \vec{a} \cdot \vec{b}-10 \vec{b} \cdot \vec{a}-35 \vec{b}. \vec{b}$
$=6|\vec{a}|^{2}+\left.21\vec{a} \cdot \vec{b}-10 \vec{a} \cdot \vec{b}-35| \vec{b}\right|^{2}$
$=6|\vec{a}|^{2}+11 \vec{a} \cdot \vec{b}-35|\vec{b}|^{2}$
Question 29
(i) सिद्ध कीजिए कि $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$, यदि और केबल यदि $\vec{a}, \vec{b}$ लंबवद् हैं। यह दिया हुभा है कि $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}$
Sol :
$\because \vec{a}+\vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0$
LHS
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}$
$=|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}$
$=|\vec{a}|^{2}+0+0+|\vec{b}|^2$
$=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$
(ii) सिद्ध करें कि [Prove that] $\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right)^{2}=\left(\frac{\vec{a}-\vec{b}}{a b}\right)^{2}$
Sol :
LHS
$\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right)^{2}=\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right) \cdot\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right)$
$=\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}}{a^{4}}-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}-\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{a^{2} b^{2}}+\frac{\vec{b} \cdot \vec{b}}{b^{4}}$
$=\frac{a^{2}}{a^{4}}-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left.a^{2}\right.b^{2}}-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2}-b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{4}}$
$=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}-\frac{2 \vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}$
RHS
$\left(\frac{\vec{a}-\vec{b}}{a b}\right)^{2}=\frac{(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})}{a^{2} b^{2}}$
$=\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}$
$=\frac{a^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{b}+b^{2}}{a^{2} b^{2}}$
$=\frac{a^{2}}{a^{2} b^{2}}-\frac{2 \vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2} b^{2}}$
$=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}-\frac{2 \vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}$
$\therefore\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right)^{2}=\left(\frac{\vec{a}-\vec{b}}{a b}\right)^{2}$
Question 30
दिया है (Given that) $\vec{p}=\vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{q}=\vec{a}-\vec{b}$ तथा (and) $|\vec{a}|=|\vec{b}|$, दिखाए कि (show that) $\vec{p} \cdot \vec{q}=0$
Sol :
$\vec{p} \cdot \vec{q}=(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})$
$=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{b}$
$=|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{b}-|\vec{b}|^{2}$
$=|\vec{b}|^{2}-|\vec{b}|^{2} \quad(\because|\vec{a}|=|\vec{b}|)$
$\vec{p} \cdot \vec{q}=0$
Question 31
$|\vec{a}-\vec{b}|$ ज्ञात करें यदि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इस प्रकार है कि $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3$ तथा $\vec{a} \cdot \vec{b}=4$.
Sol :
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a}.\vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=2^{2}-4-4+3^{2}$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=4-8+9$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=5 \Rightarrow|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5}$
Question 32
$|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ ज्ञात करें यदि [Find $|\vec{a}|$ and $|\vec{b}|$ if $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$ तथा (and) $|\vec{a}|=8|\vec{b}|$.
Sol :
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$ तथा $|\vec{a}|=8|\vec{b}|$
$\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{b}=8$
$|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{b}-| \vec{b}|^{2}=8$
$\begin{aligned}(8 \mid \vec{b})^{2}-|\vec{b}|^{2} &=8 \\ 64|\vec{b}|^{2}-|\vec{b}|^{2} &=8 \\ 63|\vec{b}|^{2} &=8 \\|\vec{b}|^{2} &=\frac{8}{63} \end{aligned}$
$|\vec{b}|=\sqrt{\frac{8}{63}} \Rightarrow|\vec{b}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}$
$|\vec{a}|=8|\vec{b}|$
$\Rightarrow|\vec{a}|=8 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}=8 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}$
Question 33
दर्शाइए कि दो शून्येत्वर सीदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के सिए, $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ पर लंब है।
Sol :
$(|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}) \cdot(|\vec{a}| \cdot \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a})$
$=|\vec{a}| \cdot \vec{b}|\vec{a}| \cdot \vec{b}-|\vec{a}| \vec{b} \cdot|\vec{b}| \vec{a}+|\vec{b}| \cdot \vec{a}|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \cdot \vec{a} \cdot(\vec{b}) \cdot \vec{a}$
$=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-|\vec{a}|^{2} \cdot|\vec{b}|^{2}$
=0
$\therefore|\vec{a}| \cdot \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}\perp|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$
Question 34
(i) यदि (If) $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=3$ तथा (and) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$, तो दिखाएँ कि (then show that) $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-7$.
Sol :
⇒$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$
⇒$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^{2}=0^{2}$
⇒$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=0$
⇒$\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}$ $+\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{a}$ $+\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}$ $+\vec{c} \cdot \vec{a}+\vec{c} \cdot \vec{b}$ $+\vec{c} \cdot \vec{c}=0$
⇒$1^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}+2^{2}+3^{2}=0$
⇒$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})+14=0$
⇒$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-7$
(ii) मना लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार है कि $|\vec{a}|=3$. $|\vec{b}|=4,|\vec{c}|=5$. और झनमें से प्रत्येक, अन्य दो सदिशों के योगफल पर लंबवट् है तो, $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना $ \vec{a}, \vec{b}$ तथा $ \vec{c} $ तीन सदिश है
$\vec{a} \perp(\vec{b}+\overrightarrow{\vec{c}}), \vec{b} \perp(\overrightarrow{c}+\vec{a}), \vec{c} \perp(\vec{a}+\overrightarrow{{b}})$
$\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0, \vec{b} \cdot(\vec{c}+\vec{a})=0, \vec{c}(\vec{a}+\vec{b})=0$
$\vec{a} \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{a}=0 , \vec{b} \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{b}=0, \vec{c} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{c}=0$
जोड़ने पर,
$2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=0$
$|\vec{a}+\vec{b}+\overrightarrow{c}|^{2}=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$
$=|\vec{a}|^{2}+|\vec{\imath}|^{2}+\left|\vec{c}^{2}\right|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+\overrightarrow{2} \vec{c}\cdot \vec{a}$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+0$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}=50$
$|\vec{a}+\overrightarrow{b}+\vec{c}|=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$
(iii) तोन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ प्रतिबंध $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ को संतुष्ट करते है । यदि $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=4$ और $|\vec{c}|=2$ तो राशि $\mu=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए ।
Sol :
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{o}$
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^{2}=(\vec{o})^{2}$
$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=0$
$|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=0$
$1^{2}+4^{2}+2^{2}+2\left(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\right)=0$
$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=\frac{-21}{2}$
Question 35
सिद्ध करें कि किसी षटफलक के विकारी के वर्गो का योगफल उसके भुजाओं के वर्गो के योगफल के बराबर होता है।
Sol :
माना OABCDEFG षटफलक है,
तो सिद्ध करना है।
$|\overrightarrow{O E}|^{2}+|\overrightarrow{BG}|^{2}+|\overrightarrow{AD}|^{2}+|\overrightarrow{F C}|^{2}$
$=|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}$ $+|\overrightarrow{O C}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}$ $+|\overrightarrow{CD}|^{2}+|\overrightarrow{AF}|^{2}$ $+|\overrightarrow{ED}|^{2}+|\overrightarrow{FE}|^{2}$ $+|\overrightarrow{GF}|^{2}+|\overrightarrow{GD}|^{2}$
प्रमाण
$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B E}$
$\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}$
$\overrightarrow{B G}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{OG}$
$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{CD}$
$\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$
LHS
$=|\overrightarrow{O E}|^{2}+|\overrightarrow{B G}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{F C}|^{2}$
$=|\overrightarrow{O R}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}|^{2}+|\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{O G}|^{2}$ $+|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}|^{2}$ $+|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|^{2}$
$=(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}) \cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E})$ $+(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{OG}) \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{OG})$ $+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}) \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C B})$ $+(\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})$
$=|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}+2 \cdot \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A B}$ $+2 \cdot \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B E}+2 \cdot \overrightarrow{B E} \cdot \overrightarrow{O A}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{C O}|^{2}$ $\left|\overrightarrow{OG}\right|^{2}+2 \cdot \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{C O}+2\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{OG}$ $+2 \overrightarrow{OG}.\overrightarrow{BC} +|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{CD}|^{2}$ $+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}+2 \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{A B}$ $+|\overrightarrow{F A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}$ $+|\overrightarrow{B C}|^{2}+2 \overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{A B}$ $+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+2 \cdot \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{F A}$
$=|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}$+2(0)+2(0)+2(0)$+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{CO}|+|\overrightarrow{OG}|^2$+2(0)+2(0)+2(0)$+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{CD}|^{2}$+2(0)+2(0)+2(0)$+|\overrightarrow{FA}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}$+2(0)+2(0)+2(0)
$=|\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{OC}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}$ $|\overrightarrow{CD}|^{2}+|\overrightarrow{A F}|^{2}+|\overrightarrow{OG}|^{2}+|\overrightarrow{ED}|^{2}$ $+| \overrightarrow{GD}|^{2}+|\overrightarrow{F E}|^{2}+|\overrightarrow{G F}|^{2}$
Question 36
दिखाएँ कि किसी समान्तर चुर्भुज के विकणो का योगफल उसके आसन्न भुजाओ के योगफल का दुगुना होता है।
Sol :
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
तो सिद्ध करना है-
$|\overrightarrow{A C}|^{2}+|\overrightarrow{B D}|^{2}=2\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}\right)$
प्रमाण
$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{DC}$ $(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC})$
$\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{A B}$
LHS
$|\overrightarrow{AC}|^{2}+|\overrightarrow{B D}|^{2}=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{B D}$
$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B C})+(\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A B}).(\overrightarrow{B C} – \overrightarrow{AB})$
$=|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+2 \overrightarrow{A B}. \overrightarrow{B C}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}-2.\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}$
$=2|\overrightarrow{A B}|^{2}+2|\overrightarrow{B C}|^{2}$
$=2\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}\right)$
Question 37
सादिर विधि से दिखाएँ कि किसी $\triangle \mathrm{ABC}$ में [Prove by vector method that in any $\triangle \mathrm{ABC}$ ]
(i) $\cos \mathrm{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$
(ii) $a=b \cos \mathrm{C}+c \cos \mathrm{B}$
Sol :
(i)
माना ΔABC, में $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{c}, \overrightarrow{B C}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b}$
$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{B C}=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{CA})$
$\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B C}=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}) \cdot\{-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A})\}$
$\vec{a} \cdot \vec{a}=(\vec{c}+\vec{b})(\vec{c}+\vec{b})$
$a^{2}=c^{2}+b^{2}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$
$2 b c \cos A=b^{2}+c^{2}-a^{2}$
$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$
(ii)
$\begin{aligned} \because \quad \overrightarrow{B C} &=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}) \\ \vec{a} &=-(\vec{c}+\vec{b}) \end{aligned}$
$\vec{a} \cdot \vec{a}=-\vec{a} \cdot(\vec{c}+\vec{b})$
$\vec{a} \cdot \vec{a}=-(\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{b})$
$a^{2}=-(a c \cos (\pi-8)+a b \cos (\pi-c))$
$a^{2}=-a(-c \cos B-b \cos C)$
$a=-(-c \cos B-b \cos C)$
a=ccosB+bcosC
a=bcosC+ccosB