KC Sinha: Exercise 17.1 – Mathematics Solution Class 11 Chapter 17 बिंदुओं के निर्देशांक

Question 1

निम्नलिखित बिन्दुओ के बीच की दूरी निकाले

[Find the distance between the following pair of points]

(i) (0,0),(-5,12)

Sol :

दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}+x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

OP=$\sqrt{\left(-5-0\right)^{2}+\left(12-0\right)^{2}}$

=√25+144=√169=13 इकाई

(ii) (4,5),(-3,2)

(iii) (5,-12),(9,-9)

(iv) (-3,4),(3,0)

Question 2

P(x₁,y₁) और Q(x₂,y₂) के बिच की दूरी ज्ञात कीजिए जब

(i) PQ, y-अक्ष के समान्तर है।

(ii) PQ, x-अक्ष के समान्तर है।

Sol :

(i) PQ, y-अक्ष के समांतर है।

∴x₁=x₂

दूरी सूत्र से ,

PQ$=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(x_{2}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$ (∵x₁=x₂)

$=\sqrt{\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$

(ii) PQ, x-अक्ष के समांतर है।

$P Q=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(x_1-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}}=\left|x_{1}-x_{2}\right|$

Question 3

a का मान निकाले यदि बिन्दु (a,2) तथा (3,4) के बीच की दूरी 8 है।

[Find a if the distance between (a,2) and (3,4) is 8]

Sol :

$P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_1\right)^{2}+\left(y_{2}-y_1\right)^{2}}$

या $P Q^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}$

दोनो तरफ वर्ग करने पर

$(3-a)^{2}+(4-2)^{2}=64$

$3^{2}-2 \cdot 3 \cdot a+a^{2}+2^{2}-64=0$

$a^{2}-6 a-51=0$

$a=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^{2}-4 \times 1 \times(-51)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{6 \pm \sqrt{36+204}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{240}}{2}$

$a=\frac{6 \pm \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5}}{2}$

$a=\frac{6 \pm 4 \sqrt{15}}{2}$

$a=\frac{2(3 \pm 2 \sqrt{15})}{2}$

$a=3 \pm 2 \sqrt{15}$

Question 4

एक रेखाखण्ड की लम्बाई 10 इकीइ है तथा इसका एक छोर (-2,3) है । यदि दूसरे छोर का 9 है तो साबित करे कि इसका भुज 6 या -10 है।

[A line segment is of length 10 units and one of its ends is (-2,3) . If the ordinate of the other end is 9, prove that the abscissa of the other end is 6 or -10]

Sol :

माना वह रेखाखंड PQ है ,जिसका Q छोर (-2,3) है तथा P(x,9) है।

PQ=10 इकाई

दोनो तरफ वर्ग करने पर

PQ²=10²

$(x-(-2))^{2}+(9-3)^{2}=100$

$(x+2)^{2}+6^{2}=100$

x²+2.x.2+2²+36-100=0

x²+4x-60=0

x²+10x-6x-60=0

x(x+10)-6(x+10)=0

(x+10)(x-6)=0

$\begin{array}{l|l}x+10=0 & x-6=0 \\ x=-10& x=6\end{array}$

∴दूसरे छोर का भुज 6 या -10 होगा ।

Question 5

x-अक्ष पर बिन्दु निकाले जो निम्नलिखित बिन्दुओ के युग्म से समान दूरी पर है।

[Find the point on x-axis which is equidistant from the following pair of points]

(i) (7,6) and (3,4) [NCERT]

(ii) (3,2) and (-5,-2)

Sol :

माना x-अक्ष स्थित बिन्दु P(x,0) जो बिन्दु A(7,6) तथा बिन्दु B(7,4) से समान दूरी पर है।

PA=PB

दोनो तरफ वर्ग करने पर

(x-7)²+(0-6)²=(x-3)²+(0-4)²

x²-2.x.7+7²+(-6)²=x²-2.x.3²+3²+(-4)²

-14x+49+36=-6x+9+16

-14x+85=-6x+25

-14x+6x=25-85

-8x=-60

$x=\frac{60}{8}=\frac{15}{2}$

∴x-अक्ष पर स्थित बिन्दु $\left(\frac{15}{2}, 0\right)$

Question 7

दूरी सूत्र का प्रयोग कर जाँच करे कि बिन्दुओ का निम्नलिखित समूह संरेख है।

[Using distance formula , examine whether the following sets of points are collinear?]

(i) (3,5),(1,1),(-2,-5)

Sol. :

(ii) (5,1),(1,-1),(11,4)

Sol :

माना A(3,5) ,B(1,1) तथा C(-2,-5) निर्दशांक वाली तीन बिन्दुएँ है।

दूरी सूत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

AB$=\sqrt{(1-3)^{2}+(1-5)^{2}}=\sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}}$

=√4+16=√20

=2√5 इकाई

BC$=\sqrt{(-2-1)^{2}+(-5-1)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+(-6)^{2}}$

AC$=\sqrt{(-2-3)^{2}+(-5-5)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(-10)^{2}}$

=√25+100=√125

=5√5 इकाई

AB+BC=AC

∴A,B and C संरेखी है।

(iii) (0,0),(9,6),(3,2)

(iv) (-1,2),(5,0),(2,1)

Question 9

साबित करे कि बिन्दुओ (a+rcosθ , b+r sinθ) तथा (a,b) के बीच की दूरी θ से स्वतन्त्र है।

[Prove that the distance between the points (a+rcosθ, b+rsinθ) and (a,b) is independent of θ]

Sol :

दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$

PQ$=\sqrt{(a+r \cos \theta-a)^{2}+\left(b+r \sin \theta-b\right)^{2}}$

$=\sqrt{r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin 2 \theta}$

$=\sqrt{r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right.}=\sqrt{r^{2}}$

=r इकाई

Question 10

(i) दूरी सूत्र का प्रयोग कर दिखाएँ कि बिन्दु (cosec²θ ,0) ,(0 ,sec²θ) तथा (1,1) संरेख है।

Sol :

माना A(cosec²θ ,0) ,B(0 ,sec²θ) तथा C(1,1) तीन बिन्दुएँ है।

दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

AB$=\sqrt{\left(0-\operatorname{cosec}^{2} \theta\right)^{2}+\left(\operatorname{sec}^{2} \theta-0\right)^{2}}$

$=\sqrt{ \left.\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta\right)^{2}+\sec ^{2} \theta\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(1+\cos ^{2} \theta\right)^{2}+\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(1+\frac{1}{\tan ^{2} \theta}\right)^{2}+\left(1+\tan ^{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\frac{\tan ^{2} \theta+1}{\tan ^{2} \theta}\right)^{2}+\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}\left[\frac{1}{\tan ^{4} \theta}+1\right]}$

$=\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \sqrt{\frac{1+\tan ^{4} \theta}{\tan ^{4} \theta}}$

$=\frac{\sec ^{2} \theta}{\tan ^{2} \theta} \sqrt{1+\tan^4 \theta}$

BC$=\sqrt{(1-0)^{2}+\left(1-\sec ^{2} \theta\right)^{2}}$

$=\sqrt{1+\left(\sec ^{2} \theta-1\right)^{2}}$

$=\sqrt{1+\left(\tan ^{2} \theta\right)^{2}}$

$=\sqrt{1+\tan ^{4} \theta}$

AC$=\sqrt{\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta-1\right)^{2}+(0-1)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\left(\cot^{2} \theta\right)^{2}+1\right.}$

$=\sqrt{\cot ^{4} \theta+1}$

$=\sqrt{\frac{1}{\tan ^{4} \theta}+1}$

$=\sqrt{\frac{1+\tan ^{4} \theta}{\cot ^{4} \theta+1}}$

$=\frac{\sqrt{1+\tan ^{4} \theta}}{\tan ^{2} \theta}$

BC+AC

$=\sqrt{1+\tan ^{4} \theta}+\frac{\sqrt{1+\tan ^{4} \theta}}{\tan ^{2} \theta}$

$=\left(1+\frac{1}{\tan ^{2} \theta}\right) \sqrt{1+\tan ^{4} \theta}$

$=\left(\frac{\tan ^{2} \theta+1}{\tan ^{2} \theta}\right) \sqrt{1+\tan ^{4} \theta}$

$=\frac{\sec ^{2} \theta}{\tan ^{2} \theta} \sqrt{1+\tan ^{4} \theta}$

=AB

∴A,B तथा C संरेखी है।

Question 11

यदि बिन्दु P(x,y) बिन्दुओ (2,3) तथा (6,-1) से समान दूरी पर हो तो x तथा y मे सम्बन्ध निकाले ।

[If the point (x,y) is equidistant from the points (2,3) and (6,-1) , find the relation between x and y]

Sol :

माना बिन्दु P(x,y) , बिन्दुओ A(2,3) तथा B(6,-1) से समान दूरी पर है ।

PA=PB

दोनो तरफ वर्ग करने पर

PA²=PB²

(x-2)²+(y-3)²=(x-6)²+(y+1)²

x²-2.x.2+2²+y²-2.y.3+3²=x²-2.y.6+6²+y²+2.y.1+12

-4x-6y+4+9=-12x+2y+36+1

-4x-6y+13=-12x+2y+37

-4x-6y+12x-2y=37-13

8x-9y=24

8(x-y)=24

$x-y=\frac{24}{8}$

Question 12

यदि बिन्दु P(x,y) बिन्दुओ (a+b,b-a) तथा (a-b, a+b) से समान दूरी पर हो तो साबित केर कि

[If the point P(x,y) be equidistant from the points (a+b,b-a) and (a-b,a+b) prove that]

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{x-y}{x+y}$

Sol :

माना बिन्दु P(x,y) , बिन्दुओ A(a+b,b-a) तथा B(a-b,a+b) से समान दूरी पर है।

दोनो तरफ वर्ग करने पर

PA²=PB²

[x-(a+b)]²+[y-(b-a)]²=[x-(a-b)]²+[y-(a+b)]²

x²-2.x(a+b)+(a+b)²+y²-2.y(b-a)+(b-a)²

=x²-2.x(a-b)+(a-b)²+y²-2.y(a+b)+(a+b)²

-2x(a+b)+2y(a-b)=-2x(a-b)-2y(a+b)

-2x(a+b)+2y(a+b)=-2x(a-b)-2y(a-b)

-2(a+b)(x-y)=-2(a-b)(x+y)

$\frac{x-y}{x+y}=\frac{a-b}{a+b}$

Question 12

साबित करे कि बिन्दु (3,4),(8,-6) तथा (13,9) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।

[Prove that the points (3,4),(8,-6) and (13,9) are the vertices of a right angled triangle]

Sol :

माना A(3,4) , B(8,-6) तथा C(13,9) तीन बिन्दुएँ है।

दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

AB$=\sqrt{(8-3)^{2}+(-6-4)^{2}}=\sqrt{5^{2}+(-10)^{2}}$

=√25+100=√125

BC$=\sqrt{(13-8)^{2}+(9+6)^{2}}=\sqrt{5^{2}+15^{2}}$

=√25+225=√250

AC$=\sqrt{(13-3)^{2}+(9-4)^{2}}=\sqrt{10^{2}+5^{2}}$

=√100+25=√125

$A B^{2}+AC^{2}=(\sqrt{25})^{2}+(\sqrt{125})^{2}=250$

$A B^{2}+AC^{2}=(\sqrt{25})^{2}+(\sqrt{125})^{2}=BC^2$

∴A , B तथा C समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।

Question 13

साबित करें कि बिन्दु (3,4),(8,-6) तथा (13,9) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

[Prove that the points (3,4),(8,-6) and (13,9) are the vertices of a right angled triangle)]

Sol :

माना A(3,4), B(8,-6) and C(13,9) तीन बिन्दुएँ है।

दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

AB$=\sqrt{(8-3)^{2}+(-6-4)^{2}}=\sqrt{5^{2}+(-10)^{2}}$

=√25+100=√125

BC$=\sqrt{(13-8)^{2}+(9+6)^{2}}=\sqrt{5^{2}+15^{2}}$

=√25+225=√250

AC$=\sqrt{(13-3)^{2}+(9-4)^{2}}=\sqrt{10^{2}+5^{2}}$

=√100+25=√125

$A B^{2}+A c^{2}=(\sqrt{125})^{2}+(\sqrt{125})^{2}=250$

∴A, B तथा C समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।

Question 14

यदि A(at²,2at) , $\mathrm{B}\left(\frac{a}{t^{2}},-\frac{2 a}{t}\right)$ तथा C(a,0) कोई तीन बिन्दु हो तो साबति करे कि $\frac{1}{\mathrm{AC}}+\frac{1}{\mathrm{BC}}$ , t से स्वतंत्र है।

Sol :

AC$=\sqrt{\left(a t^{2}-a\right)^{2}+(2 a t-0)^{2}}$

$=\sqrt{\left(a t^{2}\right)^{2}+a^{2}-2 \cdot a t^{2} \cdot a+(2at)^{2}}$

$=\sqrt{\left(a t^{2}\right)^{2}+a^{2}-2 a^{2} t^{2}+4 a^{2} t^{2}}$

$=\sqrt{\left(a t^{2}\right)^{2}+a^{2}+2 a^{2} t^{2}}$

AC$=\sqrt{(a+2)^{2}+a^{2}+2 \cdot a t^{2} \cdot a}$

$=\sqrt{\left(a+^{2}+a\right)^{2}}$

=at²+a=a+at²

BC$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}-a\right)^{2}+\left(\frac{-2 a}{t}-0\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}\right)^{2}+a^{2}-2 \cdot \frac{a}{t^{2}} \cdot a+\left(\frac{-2a}{t}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}\right)^{2}+a^{2}-\frac{2 a^{2}}{t^{2}}+\frac{4 a^{2}}{t^{2}}}$

$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}\right)^{2}+a^{2}+2 \frac{a^{2}}{t^{2}}}$

$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}\right)^{2}+a^{2}+2 \cdot \frac{a}{t^{2}} \cdot 9}$

$=\frac{a}{t^{2}}+a=\frac{a+a t^{2}}{t^{2}}$

$\frac{1}{A C}+\frac{1}{B C}=\frac{1}{a+a t^{2}}+\frac{1}{\frac{a+a t^{2}}{t^{2}}}$

$=\frac{1}{a+at^{2}}+\frac{t^{2}}{a+a t^{2}}$

$=\frac{1+t^{2}}{a+a t^{2}}$

$=\frac{1+t^{2}}{a\left(1+t^{2}\right)}=\frac{1}{a}$

∴$\frac{1}{A{C}}+\frac{1}{B C}$ , t स्वतंत्र है।

Question 15

यदि किसी समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0,0) तथा $(0,2 \sqrt{3})$ हो तो इसके तीसरे शीर्ष के निर्देशांक निकाले ।

Sol :

माना ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है , जिसके शीर्षो के निर्देशांक A(0,0) , B$(0,2 \sqrt{3})$ तथा C(x,y) है।

AB=BC=AC

BC=AC

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

BC²=AC²

(x-0)²+(y-2√3)²=(x-0)²+(y-0)²

y²-2.y.2√3+(2√3)²=y²

-4√3 y+12=0

$y=\frac{12}{4\sqrt{3}}$=√3

AB=AC

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

AB²=AC²

(0-0)²+(2√3-0)²=(x-0)²+(y-0)²

12=x²+y²

9=x²

x=±√9=±3

∴बिन्दु C का निर्देशांक (±3,√3) या (3,√3) और (-3,√3)

Question 16

उस त्रिभुज का परिकेन्द्र तथा परिवृत्त की त्रिज्या निकाले जिसके शीर्ष (-2,3),(2,1) तथा (4,0) है।

[Find the circumcentre and circum-radius of the triangle whose vertices are (-2,3),(2,-1) and (4,0)]

Sol :

माना बिन्दु O(x,y) , ΔABC का परिकेन्द्र है।

OA=OB=OC

OB=OC

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

(x-2)²+(y+1)²=(x-4)²+(y-0)²

x²-2.x.2+2²+y²+2.y.1+1²=x²-2.x.4+4²+y²

-4x+2y+4+1=-8x+16

-4x+2y+8x=16-5

4x+2y=11…(i)

OA=OC

दोनो तरफ वर्ग करने पर

OA²=OC²

(x+2)²+(y-3)²=(x-4)²+(y-0)²

x²+2.x.2+2²+y²-2.y.3+3²=x²-2.x.4+4²+4²

4x-6y+4+9=-8 x+16

4x-6y+8x=16-13

12x-6y=3

3(4x-2y)=3

$4 x-2 y=\frac{3}{3}$

4x-2y=1…(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}4 x+2 y&=11 \\4 x-2 y&=1 \\ \hline 8 x&=12\end{aligned}$

$x=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

4x+2y=11

$4\left(\frac{3}{2}\right)+2 y=11$

6+2y=11

2y=5

$y=\frac{5}{2}$

ΔABC का परिकेन्द्र $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$

परिवृत्त की त्रिज्या=OC

$=\sqrt{\left(4-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{5}{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\frac{8-3}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-5}{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}}$

$=\sqrt{\frac{50}{4}}=\sqrt{\frac{2\times 5 \times 5}{2 \times 2}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ इकाई

Question 17

यदि बिन्दु A(a,b) तथा B(c,d) मूल बिन्दु पर एक समकोण बनाते हो तो साबित करे कि ac+bd=0

[If the line segment joining the points A(a,b) and B(c,d) subtends a right angle at the origin , show that ac+bd=0] 

Sol :

माना बिन्दु A(a,b) तथा B(c,d) मूल बिन्दु O(0,0) पर समकोण बनाते है। 

पाईथागोरस प्रमेय मे,

OA²+OB²=AB²

a²+b²+c²+d²=(a-c)²+(b-d)²

a²+b²+c²+d²=a²-2ac+c²+b²-2b+d²

2ac+2bd=0

2(ac+bd)=0

(ac+bd)=0

Question 18

यदि बिन्दु A(a,b) तथा B(a,-b) को मिलाने वाली रेखा मूल बिन्दु पर θ कोण बनाना है , तो सिद्ध करे कि 

[If the line segment joining the points A(a,b) and B(a,-b) students an angle θ at the origin, show that]

$\cos \theta=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$

Sol :

माना बिन्दु A(a,b) तथा B(a,-b) को मिलाने वाली रेखा AB मूल बिन्दु O(0,0) पर θ कोण बनाना है, जहाँ

θ=⍺+(-β)

θ=⍺-β

cosθ=cos(⍺-β)

=cos⍺.cosβ+sin⍺.sinβ

$=\frac{OC}{O A} \times \frac{O C}{OB}+\frac{A C}{OA} \times \frac{B C}{O B}$

$=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \frac{-b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

$=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$

cosθ$=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$

Question 19

साबित करे कि बिन्दु (4,3),(6,4),(5,6) तथा (3,5) एक वर्ग के शीर्ष है।

[Prove that the points (4,3),(6,4),(5,6) and (3,5) are the vertices of a square]

Sol :

माना A(4,3), B(6,4), C(5,6) तथा D(3,5) चार बिन्दुएँ है।

दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

AB$=\sqrt{(6-4)^{2}+(4-3)^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}$

=√4+1=√5

BC$=\sqrt{(6-5)^{2}+(4-6)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}$

CD$=\sqrt{(5-3)^{2}+(6-5)^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}$

AD$=\sqrt{(4-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}$

=√1+4=√5

AC$=\sqrt{(5-4)^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}$

BD$=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-5)^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}$

AB=BC=CD=AD

AC=BD

∴ABCD वर्ग है या (4,3),(6,4),(5,6) तथा (3,5) वर्ग के शीर्षो के निर्देशांक है।

Question 21

यदि ABCD एक आयत है तथा P इसके तल मे कोई बिन्दु है तो साबित करे कि 

[If ABCD be a rectangle and P be any point in the plane of the rectangle then prove that]

PA²+PC²=PB²+PD²

Sol :

माना A मूल बिन्दु है तथा AB और AD क्रमशः x तथा y अक्ष पर a तथा b इकाई लंबाई के है।

माना P आयत ABCD मे स्थित एक बिन्दु है, जिसका निर्देशांक (x,y) है।

L.H.S 

PA²+PC²=x²+y²+(a-x)²+(b-y)²

=x²+y²+a²-2ax+x²+b²-2by+y²

=2x²+2y²-2ax-2by+a²+b²

R.H.S

PB²+PD²=(a-x)²+(0-y)²+(0-x)²+(b-y)²

=a²-2ax+x²+y²+x²+b²-2by+y²

=2x²+2y²-2ax-2by+a²+b²

∴PA²+PC²=PB²+PD²

Question 22

नियामक ज्यामिति से साबित करे कि किसी आयत के विकर्णो के वर्ग का योगफल उसके भुजाओ के वर्ग के योगफल के बराबर है।

Sol :

माना ABCD एक आयत है, जिसका शीर्ष A(0,0) मूल बिन्दु है , तथा AB और AD क्रमशः x तथा y अक्ष पर है।

माना AB=a, AD=b

तो साबित करना है

L.H.S

AC²+BD²=a²+b²+(a-0)²+(0-b)²

=a²+b²+a²+b²

=2a²+2b²

R.H.S

AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²

=a²+b²+a²+b²

=2a²+2b²

LHS=RHS

अतः आयत के विकर्णो के वर्गो का योगफल उनके भुजाओ के वर्गो के योगफल के बराबर बोता है।