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Question 1
निम्नलिखित संख्याओं को अभान्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें ।
(i) 4320
Sol :
$\begin{array}{l|l}2 & 4320 \\\hline 2 & 2160 \\\hline 2 & 1080 \\\hline 2 & 540 \\\hline 2 & 270 \\\hline 3 & 135 \\\hline 3 & 45 \\\hline 3 & 15 \\\hline 5 & 5 \\\hline & 1\end{array}$
4320 = 25 × 33 × 5
(ii) 7560
Sol :
$\begin{array}{l|l}2 & 7560 \\\hline 2 & 3780 \\\hline 2 & 1890 \\\hline 3 & 945 \\\hline 3 & 315 \\\hline 3 & 105 \\\hline 5 & 35 \\\hline 7 & 7 \\\hline & 1\end{array}$
7560=23×33×5×7
Sol :
$\begin{array}{l|l}
2 & 140 \\
\hline 2 & 70 \\
\hline 5 & 35 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}$
140=22×5×7
(iv) 5005
Sol :
$\begin{array}{l|l}
5 & 5005 \\
\hline 7 & 1001 \\
\hline 11 & 143 \\
\hline 13 & 13 \\
\hline & 1
\end{array}$
5005 = 5 × 7 × 11 × 13
Sol :
$\begin{array}{l|l}
2 & 32760 \\
\hline 2 & 16380 \\
\hline 2 & 8190 \\
\hline 3 & 4095 \\
\hline 3 & 1365 \\
\hline 5 & 455 \\
\hline 7 & 91 \\
\hline 13 & 13 \\
\hline & 1
\end{array}$
32760 = 23 × 32 × 5 × 7 × 13
(vi) 156
Sol :
$\begin{array}{l|l}
2 & 156 \\
\hline 2 & 78 \\
\hline 3 & 39 \\
\hline 13 & 13 \\
\hline & 1
\end{array}$
156 = 22 × 3 × 13
Sol :
$\begin{array}{l|l}
17 & 7429 \\
\hline 19 & 437 \\
\hline 23 & 23 \\
\hline & 1\\\end{array}$
7429= 17×19×23
Question 2
23750 में 5 का अधिकतम घात ज्ञात करें।
Sol :
$\begin{array}{l|l}2 & 23750 \\\hline 5 & 11875 \\\hline 5 & 2375 \\\hline 5 & 475 \\\hline 5 & 95 \\\hline 19 & 19 \\\hline & 1\end{array}$
23750 = 2 × 54 × 19
5 का अधिकतम घात=4
Question 3
1440 में 2 का अधिकतम घात ज्ञात करें।
Sol :
Question 4
यदि 6370 = 2m .5n.7k.13p है, तो m+n+k+p का मान ज्ञात करें।
Sol :
$\begin{array}{l|l}
2 & 6370 \\
\hline 5 & 3185 \\
\hline 7 & 637 \\
\hline 7 & 91 \\
\hline 13 & 13 \\
\hline & 1
\end{array}$
6370 = 2 × 5 × 72 × 13
6370 =2m .5n.7k.13p
=21×51×72×131
m = 1
n = 1
k = 2
p = 1
=m+n+k+p
=1+1+2+1=5
Question 5
निम्नलिखित में कान-सा युग्म सह-अभाज्य है ?
(i) (32,62)
(ii) (18,25)
(iii) (31,93)
Sol :
(ii) (18,25) सह-अभाज्य है
Question 6
निम्नलिखित गुणनखण्ड-वृक्ष में लुप्त (missing) संख्याओं a, b, c, d, x, y के मान ज्ञात करें।
Sol :
a=2520; b=2; c=315; d=3; x=3; y=5
Sol :
a=15015; b=5005; c=5; d=143; x=13
Sol :
a=18380; b=2; c=1365; d=3; x=5; y=13
Sol :
a=3; b=147407; c=11339; d=667; x=29
Question 7
अभाज्य गुणनखंण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांको का H.C.F और L.C.M ज्ञात करे।
(i) 96 और 404
Sol :
96=2×2×2×2×2×3=22×22×2×3
404=2×2×101=22×101
मo सo=22
=4
लo सo=22×22×2×3×101
=4×4×2×3×101
=9696
(ii) 6 और 20
Sol :
20=2×2×5
लo सo=22×3×5
=4×3×5
=60
(iii) 26 और 91
Sol :
26=2×13
91=7×13
मo सo=13
लo सo=2×7×13
=182
(iv) 87 और 145
Sol :
87=3×29
145=5×29
मo सo=29
लo सo=5×3×29
=435
(v) 1485 और 4356
Sol :
1485=3×3×3×5×11=32×5×11
4356=2×2×3×3×11×11=22×32×112
मo सo=32×112
=9×11
=99
लo सo=22×32×5×112
=27×5×121×4
=65340
(vi) 1095 और 1168
Sol :
1095=3×5×73=3×5×73
1168=2×2×2×2×73=22×22×73
मo सo=73
लo सo=22×22×3×5×73
=4×4×3×5×73
=17520
Question 8
पूर्णांको के निम्नलिखित युग्मो के H.C.F और L.C.M ज्ञात करे। तथा सत्यापित करे कि दो संख्याओ का गुणनफल
=H.C.F×L.C.M
(i) 96 और 404
Sol :
96=2×2×2×2×2×3=22×22×2×3
404=2×2×101=22×101
लo सo=22×22×3×101
=4×4×3×101×2
=9696
पहली सo×दूसरी सo=मo सo×लo सo
96×404=4×9696
38784=38784
यह जाँच सही है।
(ii) 852 और 1491
Sol :
852=2×2×3×71=22×31×711
1491=3×7×71=31×71×711
मo सo=71×3
=213
लo सo=22×3×71×7
=4×3×71×7
=5964
पहली सo×दूसरी सo=मo सo×लo सo
852×1491=213×5964
1270332=1270332
यह जाँच सही है।
(iii) 777 और 1147
Sol :
777=7×3×37
1147=37×31
मo सo=71×3
=213
लo सo=37×7×3×31
=247
पहली सo×दूसरी सo=मo सo×लo सo
777×1147
=37×24087
891219=891219
(iv) 36 और 64
Sol :
36=2×2×3×3=22×32
64=2×2×2×2×2×2=26
मo सo=22
=4
लo सo=26×32
=64×9
=576
पहली सo×दूसरी सo=मo सo×लo सo
36×64=4×576
2304=2304
यह जाँच सही है।
(v) 32 और 80
Sol :
32=2×2×2×2×2=25
80=2×2×2×2×5=24×51
=16
लo सo=25×5
=32×5
=160
पहली सo×दूसरी सo=मo सo×लo सo
32×80=16×160
2560=2560
यह जाँच सही है।
(vi) 902 और 1517
Sol :
902=2×11×37
1517=41×37
मo सo=41
लo सo=41×2×11×37
=33374
पहली सo×दूसरी सo=मo सo×लo सo
902×1517=41×33374
1368334=1368334
जाँच सही है।
Question 9
अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांको के H.C.F और L.C.M ज्ञात करे ।
(i) 6, 72 और 120
Sol :
6=2×3
72=2×2×2×3×3=23×32
120=2×2×2×3×5=23×3×5
=8×9×5
=72×5
=360
(ii) 8, 9 और 25
Sol :
8=2×2×2=23
9=3×3=32
25=5×5=52
मo सo=1
लo सo=23×32×52
=8×9×25
=1800
(iii) 12, 15 और 21
Sol :
12=2×2×3
15=3×5
21=3×7
मo सo=3
लo सo=2×2×3×5×7
=4×15×7
=420
(iv) 36, 45 और 72
Sol :
36=2×2×3×3=22×32
45=3×3×5=32×5
72=2×2×2×3×3=23×32
मo सo=32
=9
लo सo=23×32×5
=8×9×5
=72×5=360
(v) 42, 63 और 140
Sol :
42=2×2×2×2×3=21×31×7
63=3×3×7=32×71
140=2×2×5×7=22×51×71
=4×9×7×5
=1260
(vi) 48, 72 और 108
Sol :
48=2×2×2×2×3=24×31
72=2×2×2×3×3=23×32
108=2×2×3×3×3=22×33
मo सo=22
लo सo=24×33
=16×27
=432
Question 10
(i) यदि H.C.F (96,404)=4 है, तो L.C.M(96,404) का मान ज्ञात करे ।
Sol :
दिया है
पहली सo=96
दूसरी सo=404
मo सo=4
$=\frac{96\times 404}{4}$
=9696
(ii) यदि L.C.M (72,126)=504 है, तो H.C.F(72,126) का मान ज्ञात करे ।
Sol :
दिया है
पहली सo=72
दूसरी सo=126
लoसo=504
मoसo=पहली सo×दूसरी/लo सo
$=\frac{72\times 126}{504}$
=18
(iii) यदि H.C.F (18,504)=18 है, तो L.C.M(18,504) का मान ज्ञात करे ।
Sol :
दिया है
पहली सo=18
दूसरी सo=504
मo सo=18
लo सo=पहली सo×दूसरी/मoसo
$=\frac{18\times 504}{18}$
=504
(iv) यदि L.C.M (96,168)=672 है, तो H.C.F(96,168) का मान ज्ञात करे ।
Sol :
दिया है:
पहली सo=96
दूसरी सo=168
लo सo=672
मo सo=पहली सo×दूसरी/लo सo
$=\frac{96\times 168}{672}$
=24
(v) यदि H.C.F(54,78)=6 है, तो L.C.M (54,78) का मान ज्ञात करे।
Sol :
दिया है:
पहली सo=54
दूसरी सo=78
मoसo=6
लo सo=पहली सo×दूसरी/मoसo
$=\frac{54\times 78}{6}$
=702
(vi) यदि H.C.F(306,657)=9 है, तो L.C.M(3036,657) का मान ज्ञात करे ।
Sol :
दिया है:
पहली सo=306
दूसरी सo=657
मoसo=9
लo सo=पहली सo×दूसरी/मoसo
$=\frac{306\times 657}{9}$
=22338
(vii) यदि H.C.F(36,64) है, तो L.C.M(36,64) का मान ज्ञात करे ।
Sol :
दिया है:
पहली सo=36
दूसरी सo=64
मoसo=4
लo सo=पहली सo×दूसरी/मoसo
$=\frac{36\times 64}{4}$
=576
Question 11
(i) जाँच करे कि क्या n∈N के लिए 15n का इकाई अंकशून्य हो सकता है।
Sol :
माना कि
a=15n
a(3×5)n
a=3n×5n
a जहाँ 3 और 5 सo है। हम जानते है कि सo का अंकशून्य मे तभी होगा । जब 2 और 5 मे धनात्मक घात गुणनखंड हो, अतः a=3n×5n यह गुणनखंड अद्धितीय हो अंतः 2,a गुणनखंड नही हो सकता है।
अतः 15n का अंत शून्य मे नही हो सकता है।
(ii) जाँच करे कि क्या प्राकृत संस्था n के लिए (24)n का इकाई अंक 5 हो सकता है।
Sol :
माना कि
a=24n
a=(2×2×2×3)n
=23×3n
हम जानते है कि किसी सo का अंत 5 तभी संभव होगा जब 3 और 5 गुणज हो । यहाँ 2 और 3 के अतिरिक्त कोई दूसरा गुणनखंड नही है।
∴5a का गुणनखंड नही है । अतः 24n का अंत 5 मे नही हो सकता हो अर्थात 24n का इकाई 5 नही हो सकता है।
(iii) जाँच करे कि क्या प्राकृत संस्था n∈N के लिए सo(21)n अंक 0 पर समाप्त हो सकता है।
Sol :
माना कि
a=21n
a=(7×3)n
a=7n×3n
हम जानते है कि एक अभाज्य गुणनखंड 7 और 3 है जो कि 0 पर समाप्त नही हो सकता है।
∴ a=21n 0 पर समाप्त नही हो सकता है।
(iv) जाँच करे कि क्या प्राकृत संस्था n∈N के लिए सo 8n अंक 5 पर समाप्त हो सकती है।
Sol :
माना कि
a=8n
a=(2×2×2)n
a=23n
हम जानते है कि एक अभाज्य गुणनखंड 2 है । जो कि 5 पर समाप्त नही हो सकता है।
∴ a=8n 5 पर समाप्त नही हो सकता है।
(v) जाँच करे कि क्या कोई प्राकृत संख्या n∈N के लिए 4n अंक 0 पर समाप्त हो सकता है।
Sol :
माना कि
a=4n
a=(2×2)n
a=22n
हम जानते है कि एक अभाज्य गुणनखंज है। जो कि 0 पर समाप्त नही हो सकता है।
∴ a=4n 0 पर समाप्त नही हो सकता है।
(vi) जाँच करे कि क्या कोई प्राकृत संख्या n∈N के लिए संख्या 7n अंक 5 पर समाप्त हो सकता है।
Sol :
माना कि
a=7n
a=7n
हम जानते है कि किसी अभाज्य संख्या का अंत 7 और 5 का गुणज है
∴a=7n का गुणनखंड नही हो । अतः 7 का अंक 5 नही हो सकता है।
∴a=7n 5 का अंत नही हो सकता है।
Question 12
(i) व्याख्या करे कि 17×11×13+17 एक भाज्य सo है।
Sol :
माना कि
a=17×11×13+17
=17(11×13+1)
=17×144
=17×2×2×2×2×3×3
a अभाज्य गुणनखंडो का गुणनफल हो अतः यह भाज्य सo है।
(ii) व्याख्या करे कि 5×7×13+5 एक भाज्य सo है।
Sol :
माना कि
a=5×7×13+5
=5(7×13+1)
=5×92
=5×2×2×23
a अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल हो अतः यह अभाज्य सo है।
(iii) दर्शाए कि 5×7×13+5
Sol :
माना कि a=5×7×13+5
=5(7×13×11)
=5×1848
=5×2×2×2×3×7×11
a अभाज्य गुणनखंड़ो का गुणनफल हो अतः यह अभाज्य सo है।
Question 13
तीन मापन दण्ड(measuring rod) 64cm, 80cm और 96 लम्बाई के है। कपड़े का न्यूनतम लम्बाई ज्ञात करे जिसे इन दण्डो मे से किसी का प्रयोग कर ठीक-ठीक पूर्णाको मे मापा जा सके ।
Sol :
तीन मापन दण्ड लo=64cm, 80cm और 96cm
कपड़े का न्यूनतम लo=P
लo=$\begin{array}{l|l}2&64,80,96\\2&32,40,48\\2&16,20,24\\2&8,10,12\\2&4,5,6\\&2,5,3\\\end{array}$
2×2×2×2×2×2×5×3=960
अतः कपड़े को न्यूनतम लo=960
Question 14
तीनो पात्रो मे 27 लीटर, 36 लीटर और 72 लीटर दूध है। कौन सबसे बड़ी माप तीनो पात्रो के दूध को ठीक ठीक माप कर सकती है।
Sol :
पहला पात्र मे दूध=27 लीटर
दूसरा पात्र मे दूध=36 लीटर
तथा तीसरा पात्र मे दूध=72 लीटर
27=3×3×3=33
36=2×2×3×3=22×32
72=2×2×2×3×3=23×32
सबसे बड़ी माप=32
=9 लीटर
Question 15
तीनो भिन्न-भिन्न पात्रो मे दूध और पानी के मिश्रण के विभिन्न परिमाप रखे गये है। जिनकी माप 403kg, 434kg और 465 kg है। कौन सबसे बड़ी सभी भिन्न परिमाणो को ठीक ठीक माप सकती है।
Sol :
दिया है
पानी के मिश्रण का माप=403 kg
दूसरा माप=434 kg
तथा
तीसरा माप=465kg
403=13×31
434=2×7×31
465=3×5×31
सबसे बड़ी माप=31 kg